[论文解读] Algebraically motivated normal functions are algebraic

Jeff Achter, Sebastian Casalaina‐Martin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 1

一句话总结

本文证明了在光滑复射影代数簇族中，由代数平凡的上同调类导出的正常函数是代数的，且定义在基域上。该研究证实了Charles与Kerr-Pearlstein的猜想，表明其零点集是代数的，且同样定义在定义域上，从而为Saito、Brosnan-Pearlstein与Schnell关于可允许正常函数零点集的结果提供了一个简洁的证明。

ABSTRACT

For families of smooth complex projective varieties we show that normal functions arising from algebraically trivial cycle classes are algebraic, and defined over the field of definition of the family. As a consequence, we prove a conjecture of Charles and Kerr-Pearlstein, that zero loci of normal functions arising from algebraically trivial cycle classes are algebraic, and defined over the field of definition of the family. In particular, this gives a short proof of a special, algebraically motivated case of a result of Saito, Brosnan-Pearlstein, and Schnell, conjectured by Green-Griffiths, on zero loci of admissible normal functions.

研究动机与目标

• 建立在光滑复射影代数簇族中，由代数平凡上同调类导出的正常函数的代数性。
• 证明此类正常函数的零点集是代数的，且定义在族的定义域上。
• 为Saito、Brosnan-Pearlstein与Schnell关于可允许正常函数零点集结果的一个特例，提供一个简短直接的证明。
• 证实Charles与Kerr-Pearlstein关于这些零点集代数性的猜想。

提出的方法

• 利用光滑复射影代数簇族中正常函数的理论。
• 应用代数几何技巧，证明与代数平凡上同调类相关联的正常函数是代数的。
• 利用上同调类代数平凡性蕴含其关联正常函数代数性的事实。
• 运用基域不变性论证，表明函数及其零点集均定义在族的定义域上。
• 利用Hodge结构变化的结构分析正常函数的行为。
• 依赖Saito、Brosnan-Pearlstein与Schnell的已知结果，同时为代数动机情形提供一个简化的证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 由代数平凡上同调类导出的正常函数在光滑复射影代数簇族中是否为代数的？
• RQ2 此类正常函数的零点集是否构成定义在基域上的代数子簇？
• RQ3 Charles与Kerr-Pearlstein关于这些零点集代数性的猜想能否被证明？
• RQ4 上同调类的代数平凡性是否蕴含其关联正常函数的代数性？
• RQ5 能否为Saito、Brosnan-Pearlstein与Schnell关于可允许正常函数结果的特例提供一个简短证明？

主要发现

• 由代数平凡上同调类导出的正常函数是代数的，且定义在族的定义域上。
• 此类正常函数的零点集是基族的代数子簇。
• 零点集与族定义在同一个域上，保持了算术结构。
• 该结果证实了Charles与Kerr-Pearlstein关于零点集代数性的猜想。
• 该证明为Saito、Brosnan-Pearlstein与Schnell在代数动机情形下的更一般结果提供了一个简洁的替代证明。
• 该工作建立了上同调类代数平凡性与关联正常函数代数性之间的强关联。