[论文解读] Algebras and States in JT Gravity

Geoff Penington, Edward Witten|ArXiv.org|Jan 18, 2023

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 25

一句话总结

本文分析了带物质与不带物质的 Jackiw–Teitelboim 引力中的边界观测量，结果表明耦合物质后得到一个 Type II∞ 边界代数，其唯一迹只存在一个常数偏移；并且来自该代数的熵与 Euclidean replica 结果相匹配；此外还研究虫洞和婴儿宇宙及其对边界与体积工作空间的影响。

ABSTRACT

We analyze the algebra of boundary observables in canonically quantised JT gravity with or without matter. In the absence of matter, this algebra is commutative, generated by the ADM Hamiltonian. After coupling to a bulk quantum field theory, it becomes a highly noncommutative algebra of Type II$_\infty$ with a trivial center. As a result, density matrices and entropies on the boundary algebra are uniquely defined up to, respectively, a rescaling or shift. We show that this algebraic definition of entropy agrees with the usual replica trick definition computed using Euclidean path integrals. Unlike in previous arguments that focused on $\mathcal{O}(1)$ fluctuations to a black hole of specified mass, this Type II$_\infty$ algebra describes states at all temperatures or energies. We also consider the role of spacetime wormholes. One can try to define operators associated with wormholes that commute with the boundary algebra, but this fails in an instructive way. In a regulated version of the theory, wormholes and topology change can be incorporated perturbatively. The bulk Hilbert space $\mathcal{H}_\mathrm{bulk}$ that includes baby universe states is then much bigger than the space of states $\mathcal{H}_\mathrm{bdry}$ accessible to a boundary observer. However, to a boundary observer, every pure or mixed state on $\mathcal{H}_\mathrm{bulk}$ is equivalent to some pure state in $\mathcal{H}_\mathrm{bdry}$.

研究动机与目标

• 理解带物质与不带物质的 JT 引力中边界观测量的代数。
• 表征在耦合到 bulk QFT 时从可交换的边界代数过渡到 Type II∞ 代数的过程。
• 将边界代数熵与 Euclidean 路径积分的 replica 结果联系起来。
• 研究虫洞和婴儿宇宙在边界/体积 Hilbert 空间中的作用。
• 评估 JT 引力代数的背景独立性及其对熵与态的影响。

提出的方法

• 为带物质的 JT 引力定义边界代数 A_L 和 A_R。
• 证明 A 是一个中心平凡且具有良好定义迹的 Type II∞ 因子。
• 通过代数迹计算熵，并与 Euclidean 路径积分中的 replica trick 进行比较。
• 分析婴儿宇宙算符并证明它们与可交换边界代数不相容。
• 在扰动意义下纳入虫洞修正，并研究对 H_bulk 与 H_bdry 的影响。
• 讨论多边界的一般化以及观测者对 bulk 与边界态的可访问性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带 bulk 物质与不带 bulk 物质的 JT 引力中，边界观测量代数的本质是什么？
• RQ2 耦合物质是否将边界代数变为 Type II∞ 因子，且这如何影响熵的定义？
• RQ3 虫洞和婴儿宇宙如何改变 bulk 与 boundary Hilbert 空间之间的关系？
• RQ4 是否存在与边界代数可交换的算符（婴儿宇宙算符），以及这是如何失败的？
• RQ5 边界观测者定义的熵是否在各温度下与 Euclidean replica 计算一致？

主要发现

• 在没有物质的情况下，边界代数是可交换的并且由 ADM 哈密顿量生成。
• 有 bulk 物质时，边界代数成为具有平凡中心的 Type II∞ 因子，其熵在加性常数的意义下被定义。
• 边界代数熵与通过 Euclidean 路径积分计算的 replica trick 熵一致，除了与态无关的加性常数。
• 虫洞修正保持 Type II∞ 结构，并需要在边界面向视角下将 H_bulk 与 H_bdry 视为相关但不同。
• 与边界代数可交换的婴儿宇宙算符以精确、具启发性的方式失败，而虫洞扩展了 bulk Hilbert 空间，同时使边界描述在本质上保持较小。
• 对于多个渐近边界，相同的边界代数作用于具有任意数量开放宇宙的 bulk Hilbert 空间，边界观测者在所考虑的阶数内无法探测其他边界的数量。