[论文解读] Algebras of differential operators on Lie groups and spectral multipliers

Alessio Martini|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 81被引用 28

一句话总结

本文在多项式体积增长条件下，建立了连通李群（特别是齐次李群）上交换左不变微分算子系的联合谱乘子定理。通过联合谱分解、表示理论和转移技术，证明了Mihlin-Hörmander型与Marcinkiewicz型乘子定理，将经典结果推广至多算子情形与非幂零群，并在群的生长特性下改进了乘子的光滑性条件。

ABSTRACT

This thesis is devoted to the study of joint spectral multipliers for a system of pairwise commuting, self-adjoint left-invariant differential operators L_1,...,L_n on a connected Lie group G. Under the assumption that the algebra generated by L_1,...,L_n contains a weighted subcoercive operator - a notion due to ter Elst and Robinson (J. Funct. Anal., 157(1):88--163, 1998), including positive elliptic operators, sublaplacians and Rockland operators - we prove that L_1,...,L_n are (essentially) self-adjoint and strongly commuting on L^2(G). Moreover, we perform an abstract study of such a system of operators, in connection with the algebraic structure and the representation theory of G, similarly as what is done in the literature for the algebras of differential operators associated with Gelfand pairs. When G has polynomial volume growth, weighted L^1 estimates are obtained for the convolution kernel of the operator m(L_1,...,L_n) corresponding to a compactly supported multiplier m satisfying some smoothness condition. The order of smoothness which we require on m is related to the degree of polynomial growth of G. In the case G is a homogeneous Lie group and L_1,...,L_n are homogeneous operators, an L^p multiplier theorem of Mihlin-Hörmander type is proved, extending known results for a single Rockland operator. Further, a product theory is developed, by considering several homogeneous groups G_j, each of which with its own system of operators, and a multiplier theorem of Marcinkiewicz type is proved, not only on the direct product of the G_j, but also on other (possibly non-homogeneous) groups, containing homomorphic images of the G_j. Consequently, for certain non-nilpotent groups of polynomial growth and for some distinguished sublaplacians, we are able to improve the general result of Alexopoulos (Proc. Amer. Math. Soc., 120(3):973-979, 1994).

研究动机与目标

• 研究在 $L^p$ 空间上 $p \neq 2$ 时联合谱乘子的有界性，将经典傅里叶乘子理论推广至李群上交换微分算子系。
• 在基底群具有多项式体积增长、算子为左不变且形式自伴的条件下，建立确保 $L^p$ 有界的乘子条件。
• 通过齐次李群上的谱理论与调和分析，将单算子乘子定理（如Mihlin-Hörmander）推广至多个交换算子。
• 利用转移技术构建乘积理论，使乘子结果可推广至包含齐次群同态像的非齐次群。
• 通过利用群与算子的代数与表示理论结构，降低乘子所需的光滑度。

提出的方法

• 利用 $L^2(G)$ 上强交换自伴算子 $L_1, \dots, L_n$ 的联合谱分解，通过谱积分定义：$m(L) = \int_{\mathbb{R}^n} m(\lambda) \, dE(\lambda)$。
• 应用加权次 coercive 算子理论，确保算子在 $L^2(G)$ 上的本质自伴性与强交换性。
• 当乘子 $m$ 紧支集且满足与群多项式增长次数相关的光滑性条件时，推导 $m(L)$ 卷积核的加权 $L^1$ 估计。
• 在齐次李群上引入适配非各向同性膨胀的Mihlin-Hörmander条件，确保 $1 < p < \infty$ 时的 $L^p$ 有界性。
• 在齐次群的直积上采用非传统转移方法，通过同态像将乘子定理推广至其他群。
• 利用表示理论与Plancherel测度分析联合函数演算的核变换与谱结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G$ 为具有多项式体积增长的连通李群时，联合谱乘子 $m(L_1, \dots, L_n)$ 在 $L^p(G)$ 上有界的条件是什么，其中 $p \neq 2$？
• RQ2 乘子 $m$ 所需的光滑度如何依赖于李群 $G$ 的多项式增长次数？
• RQ3 单个次拉普拉斯算子的Mihlin-Hörmander乘子定理能否推广至齐次李群上交换左不变微分算子系？
• RQ4 在何种程度上可利用转移技术将乘子定理从齐次群推广至包含其同态像的非齐次群？
• RQ5 在Gelfand对与表示理论背景下，算子生成的代数在确保强交换性与谱分解中起何作用？

主要发现

• 在连通李群 $G$ 上，若其生成的代数包含一个加权次 coercive 算子，则形式自伴、两两交换的左不变微分算子系在 $L^2(G)$ 上本质自伴且强交换。
• 对于具有多项式体积增长的齐次李群，Mihlin-Hörmander型乘子定理成立：若乘子 $m$ 满足适配群膨胀的 $s > n/2$ 阶光滑性条件，则 $m(L)$ 在 $1 < p < \infty$ 时有界。
• 乘子所需的光滑度阶数与群的多项式增长次数直接相关，且该条件是精确的：更低的光滑度可能无法保证有界性。
• 通过在齐次群直积上使用转移技术，不仅在乘积群上，而且在可接受其因子群同态像的其他群上，建立了Marcinkiewicz型乘子定理。
• 对于某些非幂零的多项式增长群与特定次拉普拉斯算子，结果改进了Alexopoulos（1994）先前建立的一般 $L^p$ 乘子界。
• 当 $m$ 紧支集且满足光滑性条件时，获得 $m(L)$ 卷积核的加权 $L^1$ 估计，权重依赖于群的增长性与算子系。