[论文解读] Algebras of higher operads as enriched categories II

Michael Batanin, Denis-Charles Cisinski+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用 10

一句话总结

本文利用胞状操作数和多重张量构建了一个范畴框架，系统地构造了格雷张量积的高维类比，统一了已知的构造（如格雷张量积和克兰斯张量积）。它建立了多重张量与单子之间的2-函子对应关系，从而简化了特里姆比弱 $n$$-范畴定义的推导，并得出新结果，例如关于辫子张量2-范畴的艾伦伯格-麦克莱恩型结果，以及 $A$-无穷代数的张量积。

ABSTRACT

One of the open problems in higher category theory is the systematic construction of the higher dimensional analogues of the Gray tensor product. In this paper we continue the work of [7] to adapt the machinery of globular operads [4] to this task. The resulting theory includes the Gray tensor product of 2-categories and the Crans tensor product [12] of Gray categories. Moreover much of the previous work on the globular approach to higher category theory is simplified by our new foundations, and we illustrate this by giving an expedited account of many aspects of Cheng's analysis [11] of Trimble's definition of weak n-category. By way of application we obtain an "Ekmann-Hilton" result for braided monoidal 2-categories, and give the construction of a tensor product of A-infinity algebras.

研究动机与目标

• 开发一个概念性、系统性的框架，用于在高阶范畴论中系统构造格雷张量积的高维类比。
• 将胞状操作数方法推广，以在一致的代数设定中统一已知的张量积（如格雷积与克兰斯基积）。
• 简化并重新推导郑（Cheng）对特里姆比弱 $n$-范畴分析中的关键结果，基于新基础。
• 构造 $A$-无穷代数的张量积，并证明关于辫子张量2-范畴的艾伦伯格-麦克莱恩型结果。
• 建立多重张量与单子之间的2-函子对应关系，从而实现对严格与弱 $n$-范畴单子的概念性重构。

提出的方法

• 利用胞状操作数和多重张量的工具来建模高维范畴结构。
• 引入一个2-函子 $\Gamma$，将多重张量映射到单子，从而在多重张量与单子的范畴之间建立2-函子对应关系。
• 使用分配律和路径型单子来构造和提升多重张量，从而实现高阶结构的归纳构造。
• 应用多重张量提升定理，推导出新的张量积与丰富结构，特别是针对 $A$-无穷代数。
• 通过 $\textnormal{Top}_\bullet$ 和 $\mathcal{G}^n\textnormal{Set}$ 中的平凡纤维丛进行收缩性论证，证明定义特里姆比 $n$-范畴的 $n$-操作数的收缩性。
• 利用遗忘函子 $U_n: \textnormal{Trm}_n \to \mathcal{G}^n\textnormal{Set}$ 及其与路径空间的相互作用，将拓扑收缩性与胞状集结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为弱 $n$-范畴构造格雷张量积的高维类比？
• RQ2 在胞状操作数的语境下，多重张量与单子之间存在何种概念性关系？
• RQ3 胞状操作数理论能否用于简化并重新推导郑对特里姆比弱 $n$-范畴分析中的关键结果？
• RQ4 在何种条件下，多重张量或操作数是收缩的？这与弱 $n$-范畴的构造有何关联？
• RQ5 该框架如何应用于构造新张量积，如 $A$-无穷代数或辫子张量2-范畴的张量积？

主要发现

• 本文建立了多重张量与单子之间的2-函子对应关系 $\Gamma$，为高维范畴结构提供了概念性基础。
• 多重张量提升定理使得新张量积的构造成为可能，包括 $A$-无穷代数的张量积。
• 作为该框架的推论，导出了关于辫子张量2-范畴的艾伦伯格-麦克莱恩型结果。
• 通过 $\textnormal{Top}_\bullet$ 和 $\mathcal{G}^n\textnormal{Set}$ 中的平凡纤维丛，归纳证明了定义特里姆比 $n$-范畴的 $n$-操作数的收缩性。
• 该理论简化并重新推导了郑对特里姆比定义分析中的关键结果，包括严格 $n$-范畴单子的构造。
• 该框架将格雷张量积与克兰斯张量积作为单一多重张量构造的特例进行推广。