[论文解读] Algebras of unbounded operators over the ring of measurable functions and their derivations and automorphisms

Sergio Albeverio, A. Ayupov+2 more|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文研究了在可测函数环上无界 $L^0$-线性算子代数中的导子与 $*$-自同构，证明了 $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性导子与 $L^0$-线性 $*$-自同构均为内自同构，且在 $bo$-稠密子模上，$σ\mathcal{L}(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性自同构均为空间自同构。结果通过凯普兰斯基-希尔伯特模将经典内自同构定理推广至无界、$L^0$-取值的情形。

ABSTRACT

In the present paper derivations and *-automorphisms of algebras of unbounded operators over the ring of measurable functions are investigated and it is shown that all L^0-linear derivations and L^{0}-linear *-automorphisms are inner. Moreover, it is proved that each L^0-linear automorphism of the algebra of all linear operators on a bo-dense submodule of a Kaplansky-Hilbert module over the ring of measurable functions is spatial.

研究动机与目标

• 将导子与自同构理论从有界算子代数推广至可测函数环上无界算子代数。
• 在无界算子背景下，建立经典内导子与空间自同构结果的 $L^0$-取值类比。
• 研究凯普兰斯基-希尔伯特模上无界 $L^0$-线性算子的 $O^*$-代数与 $O$-代数的结构。
• 证明 $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性 $*$-自同构均为内自同构，且在 $bo$-稠密子模上 $σ\mathcal{L}(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性自同构均为空间自同构。

提出的方法

• 在 $L^0$ 上的凯普兰斯基-希尔伯特模上发展无界 $L^0$-线性算子理论，引入 $O$-模、$O^*$-模、$O$-代数与 $O^*$-代数的 $L^0$-取值设定。
• 利用 $L^0$ 中的 $bo$-拓扑与 $o$-收敛性，定义 $L^0$-赋范空间中的收敛性与完备性。
• 应用 $\sigma$-有限生成模与 $d$-可分解（科坦诺维奇）范数的结构，分析 $L^0$ 上的算子代数。
• 通过谱分解与幂等划分 $\{\pi_\alpha\}$ 将整体问题约化为 $L^0$-分量上的局部问题。
• 通过局部子模 $\pi_\alpha \mathcal{D}_i$ 上的 $L^0$-线性等距同构 $U_\alpha$ 构造空间实现算子 $U$。
• 利用 $*$-同构 $\pi$ 及其由 $U$ 实现的性质，证明 $\pi(a) = UaU^{-1}$，从而证明空间性与内自同构性。

实验结果

研究问题

• RQ1 $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性导子是否均为内导子？
• RQ2 $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性 $*$-自同构是否均为内自同构？
• RQ3 在凯普兰斯基-希尔伯特模的 $bo$-稠密子模上，$σ\mathcal{L}(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性自同构是否均为空间自同构？
• RQ4 $O^*$-代数之间的 $L^0$-线性 $*$-同构是否可实现为空间映射？
• RQ5 在何种条件下，无界算子代数的 $L^0$-线性自同构为空间自同构或内自同构？

主要发现

• 代数 $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性导子均为内导子。
• $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性 $*$-自同构均为内自同构。
• 在 $L^0$ 上凯普兰斯基-希尔伯特模的 $bo$-稠密子模上，$σ\mathcal{L}(\mathcal{D})$ 的所有 $L^0$-线性自同构均为空间自同构。
• 所有 $O^*$-代数之间的 $L^0$-线性 $*$-同构均为空间同构。
• 每个 $σ\mathcal{L}^+(\mathcal{D})$ 的 $L^0$-线性 $*$-自同构均由一个酉算子 $U$ 实现，满足 $\pi(a) = UaU^{-1}$。
• 当存在一个向量 $e \in \mathcal{D}$ 满足 $\|e\| = \mathbf{1}$ 时，自同构的空间性成立。