[论文解读] Algebrodynamics in complex space-time and the complex-quaternionic origin of Minkowski geometry

Vladimir V. Kassandrov|ArXiv.org|Feb 22, 2006

Algebraic and Geometric Analysis被引用 5

一句话总结

本文提出，闵可夫斯基时空作为复四元数代数 ℂℍ 中三维复空间的双线性投影而涌现，其中自同构群 SO(3,ℂ) 作用为适当的洛伦兹群。关键结果是出现了一种在洛伦兹变换下不变的新几何相位，该相位可能构成被识别为场奇点（双子子）的粒子的量子性质的根源，通过复四元数动力学为时空和量子行为提供了代数起源。

ABSTRACT

We present a scheme of biquaternionic algebrodymamics based on a nonlinear generalization of the Cauchy-Riemann holomorphy conditions considered therein as fundamental field equations. The automorphism group SO(3,C) of the biquaternion algebra acts as a proper Lorentz group on a real space whose coordinates are bilinear in the complex coordinates of biquaternionic vector space. A new invariant of Lorentz transformations then arises - the geometric phase. This invariant can be responsible for the quantum properties of particles associated in this approach with field singularities. Some new notions are introduced, related to ``hidden'' complex dynamics: ``observable'' space-time, the ensemble of identical correlated particles-singularities (``duplicons'') and others.

研究动机与目标

• 通过扩展到双四元数，解决四元数代数的自同构群 SO(3) 与狭义相对论洛伦兹群之间的不一致性。
• 利用复时空中的非线性全纯条件，建立时空几何与物理场的根本代数起源。
• 引入一种新不变量——几何相位——在洛伦兹变换下保持不变，可能解释粒子型奇点的量子行为。
• 表明可观测的闵可夫斯基时空是深层复四元数结构的‘投影’，该结构编码于双四元数自同构中。
• 通过复适当时间和相关双子子，为量子现象（如叠加与不确定性）提供几何基础。

提出的方法

• 以双四元数代数 ℂℍ 作为基本代数结构，其中复坐标表示物理时空。
• 将非线性柯西-黎曼条件的推广作为复时空中的主要场方程。
• 将 ℂℍ 的自同构群 SO(3,ℂ) 识别为与适当洛伦兹群同构，从而实现洛伦兹不变的动力学。
• 通过复坐标中的双线性形式构建实闵可夫斯基时空，将 ℂℍ 的6维实子空间映射到4维闵可夫斯基空间。
• 引入‘双子子’的概念——源于复时空中场奇点的关联粒子型奇点。
• 定义一种从复适当时间导出的几何相位，该相位在洛伦兹变换下保持不变，可能编码量子行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 闵可夫斯基时空几何能否自然地从复代数结构（如双四元数）的自同构群中涌现？
• RQ2 在洛伦兹变换下不变的新几何相位具有何种物理意义，它如何与量子力学相关联？
• RQ3 复时空中的场奇点如何产生具有关联动力学的可观测粒子型实体（双子子）？
• RQ4 能否从复双四元数坐标的双线性不变量中推导出真实闵可夫斯基时空的因果结构与度量？
• RQ5 复适当时间及其相位在此代数框架中如何与量子不确定性及干涉现象相关联？

主要发现

• 双四元数代数的自同构群 SO(3,ℂ) 自然地在通过复坐标双线性形式导出的实4维闵可夫斯基空间上作用为适当的洛伦兹群。
• 在洛伦兹变换下出现了一种新不变量——几何相位——该相位在标准闵可夫斯基几何中不存在，可能构成量子行为的根源。
• 可观测的闵可夫斯基时空被证明是复双四元数空间的6维实子空间，由零锥方程 |(z̄₁)² + (z̄₂)² + (z̄₃)²| = |z̄₀|² 定义，其中 z̄₀ 为复适当时间。
• 实闵可夫斯基区间被识别为复适当时间模长：T² − |X|² = |z̄₀|²，将时空几何与复动力学联系起来。
• 复适当时间 z̄₀ 的相位在洛伦兹变换下为守恒不变量，暗示了量子相位与干涉的几何起源。
• 双子子——关联的粒子型奇点——源于复时空中场奇点，并通过主扭量场动态关联，实现非有序事件序列，该序列可通过演化曲线恢复。