[论文解读] Algorithm-Induced Prior for Image Restoration

Stanley H. Chan|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Image and Signal Denoising Methods参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文提出了算法诱导先验（algorithm-induced prior），这是一种在ADMM算法中使用对称平滑滤波器时，由去噪步骤隐式定义的新图像恢复先验。该文推导出该先验的显式闭式表达式，表明在理想条件下，其在图像修复任务中相比传统图拉普拉斯先验可实现高达5.2 dB的PSNR增益。

ABSTRACT

This paper studies a type of image priors that are constructed implicitly through the alternating direction method of multiplier (ADMM) algorithm, called the algorithm-induced prior. Different from classical image priors which are defined before running the reconstruction algorithm, algorithm-induced priors are defined by the denoising procedure used to replace one of the two modules in the ADMM algorithm. Since such prior is not explicitly defined, analyzing the performance has been difficult in the past. Focusing on the class of symmetric smoothing filters, this paper presents an explicit expression of the prior induced by the ADMM algorithm. The new prior is reminiscent to the conventional graph Laplacian but with stronger reconstruction performance. It can also be shown that the overall reconstruction has an efficient closed-form implementation if the associated symmetric smoothing filter is low rank. The results are validated with experiments on image inpainting.

研究动机与目标

• 理解当现成去噪器替代ADMM图像恢复中的显式正则化时所形成的隐式先验。
• 在ADMM框架内，正式表征由对称平滑滤波器诱导的先验。
• 建立算法诱导先验与经典图拉普拉斯正则化之间的联系。
• 证明算法诱导先验在图像修复任务中优于传统先验。
• 在平滑滤波器为低秩时，实现高效闭式求解。

提出的方法

• 将ADMM算法表述为在逆问题模块与去噪模块之间交替最小化。
• 用基于对称平滑滤波器的去噪操作替代显式正则化函数。
• 推导出算法诱导先验的显式表达式：$ s_{\mathbf{C}}(\mathbf{x}) = \frac{\rho}{2} \mathbf{x}^T \mathbf{C} \mathbf{x} $，其中 $ \mathbf{C} = (\mathbf{I} - \mathbf{W})\mathbf{W}^+ $，$ \mathbf{W} $ 为对称平滑滤波器。
• 证明当 $ \mathbf{W} $ 为低秩时，重建问题具有闭式解。
• 通过使用估计和理想 $ \mathbf{W} $ 的图像修复任务验证方法，与传统图拉普拉斯先验进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ADMM去噪步骤中使用对称平滑滤波器时，所诱导先验的显式形式是什么？
• RQ2 在图像恢复性能方面，算法诱导先验与传统图拉普拉斯先验相比如何？
• RQ3 在何种条件下，算法诱导先验可获得闭式解？
• RQ4 算法诱导先验能否在图像修复中有效应用，并实现相对于经典先验的PSNR提升？
• RQ5 平滑滤波器 $ \mathbf{W} $ 的结构与所得先验之间存在何种关系？

主要发现

• 算法诱导先验 $ s_{\mathbf{C}}(\mathbf{x}) $ 被显式推导为 $ \frac{\rho}{2} \mathbf{x}^T (\mathbf{I} - \mathbf{W})\mathbf{W}^+ \mathbf{x} $，其中 $ \mathbf{W} $ 为对称平滑滤波器。
• 在图像修复中，当使用理想 $ \mathbf{W} $ 时，算法诱导先验在20%像素缺失条件下达到47.22 dB的PSNR，优于传统图拉普拉斯先验的44.48 dB。
• 在80%像素缺失条件下，算法诱导先验达到42.57 dB的PSNR，而传统先验仅为37.36 dB，提升达5.21 dB。
• 在所有测试缺失率（20%、40%、60%、80%）下，无论使用估计还是理想 $ \mathbf{W} $，该先验均持续优于传统图拉普拉斯先验。
• 当 $ \mathbf{W} $ 为低秩时，该算法可实现闭式解，显著提升计算效率。
• 两种先验的最优惩罚参数 $ \rho $ 不同，证实算法诱导先验与传统图拉普拉斯先验并不等价。