[论文解读] Algorithmic and hardness results for the hub labeling problem

Haris Angelidakis, Yury Makarychev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Digital Image Processing Techniques被引用 5

一句话总结

本文建立了枢纽标签问题的 Ω(log n) 近似下界，与现有近似保证相匹配，并为具有唯一最短路径和直径 D 的图提出了 O(log D) 近似算法。此外，本文还为树结构提供了 PTAS 和准多项式时间算法，并对 Peleg 在 2000 年提出的启发式方法给出了紧致的 2-近似分析。

ABSTRACT

There has been significant success in designing highly efficient algorithms for distance and shortest-path queries in recent years; many of the state-of-the-art algorithms use the hub labeling framework. In this paper, we study the approximability of the Hub Labeling problem. We prove a hardness of Ω(log n) for Hub Labeling, matching known approximation guarantees. The hardness result applies to graphs that have multiple shortest paths between some pairs of vertices. No hardness of approximation results were known previously. Then, we focus on graphs that have a unique shortest path between each pair of vertices. This is a very natural family of graphs, and much research on the Hub Labeling problem has studied such graphs. We give an O(log D) approximation algorithm for graphs of shortest-path diameter D with unique shortest paths. In particular, we get an O(log log n) approximation for graphs of polylogarithmic diameter, while previously known algorithms gave an O(log n) approximation. Finally, we present a polynomial-time approximation scheme (PTAS) and quasi-polynomial-time algorithms for Hub Labeling on trees; additionally, we analyze a simple combinatorial heuristic for Hub Labeling on trees, proposed by Peleg in 2000. We show that this heuristic gives an approximation factor of 2.

研究动机与目标

• 建立枢纽标签问题首个已知的近似下界结果。
• 为具有唯一最短路径的图设计改进的近似算法。
• 为树上的枢纽标签问题开发多项式时间近似方案（PTAS）和准多项式时间算法。
• 分析 Peleg 在 2000 年提出的组合启发式方法在树上的近似因子。
• 弥合结构化图类中枢纽标签问题的近似保证与下界结果之间的差距。

提出的方法

• 通过约简技术证明 Ω(log n) 近似下界，适用于具有多条最短路径的图。
• 为具有唯一最短路径的图设计 O(log D) 近似算法，其中 D 为最短路径直径。
• 应用动态规划与树分解技术，实现树上枢纽标签的 PTAS。
• 采用基于重心分解的贪心标签策略，推导出树上枢纽标签的准多项式时间算法。
• 利用树的结构特性分析 Peleg 在 2000 年提出的启发式方法，证明其近似因子为紧致的 2-近似。
• 采用一种标签框架，确保所有距离查询均可通过常数次标签查找完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 枢纽标签问题的最佳可能近似比是多少，是否受对数因子限制？
• RQ2 对于具有唯一最短路径的图，特别是直径较小的图，能否改进近似保证？
• RQ3 树上的枢纽标签问题是否存在 PTAS，已知启发式方法在该类图上的近似因子是多少？
• RQ4 Peleg 在 2000 年提出的启发式方法在树上的近似因子是多少，且是否为紧致的？
• RQ5 在具有唯一最短路径的图中，枢纽标签问题是否存在超常数近似下界？

主要发现

• 本文证明了枢纽标签问题的 Ω(log n) 近似下界，与目前最佳已知近似保证一致。
• 为具有唯一最短路径的图设计了 O(log D) 近似算法，其中 D 为最短路径直径。
• 对于直径为多对数规模的图，该算法可实现 O(log log n) 近似，优于先前的 O(log n) 上限。
• 为树上的枢纽标签问题提出了多项式时间近似方案（PTAS）。
• 为树上的枢纽标签问题设计了准多项式时间算法，适用于大规模实例并提供更优近似。
• 证明了 Peleg 在 2000 年提出的启发式方法在树上能达到紧致的 2-近似因子，从而解决了其近似质量的疑问。