[论文解读] Algorithmic aspects of Brascamp-Lieb inequalities.

Ankit Garg, Leonid Gurvits+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Advanced Optimization Algorithms Research被引用 3

一句话总结

本文首次提出了计算可行性、最优Brascamp-Lieb（BL）常数以及BL-多面体的弱分离 oracle 的多项式时间算法，同时也适用于逆Brascamp-Lieb不等式。该方法将BL数据约化为算子缩放问题的一个实例，从而实现高效计算，并首次给出了BL常数的显式连续性界，这些界此前由于依赖紧致性论证而无法获得。

ABSTRACT

The celebrated Brascamp-Lieb (BL) inequalities (and their extensions) are an important mathematical tool, unifying and generalizing numerous inequalities in analysis, convex geometry and information theory. While their structural theory is very well understood, far less is known about computing their main parameters. We give polynomial time algorithms to compute feasibility of BL-datum, the optimal BL-constant and a weak separation oracle for the BL-polytope. The same result holds for the so-called Reverse BL inequalities of Barthe. The best known algorithms for any of these tasks required at least exponential time. The algorithms are obtained by a simple efficient reduction of a given BL-datum to an instance of the Operator Scaling problem defined by Gurvits, for which the present authors have provided a polynomial time algorithm. This reduction implies algorithmic versions of many of the known structural results, and in some cases provide proofs that are different or simpler than existing ones. Of particular interest is the fact that the operator scaling algorithm is continuous in its input. Thus as a simple corollary of our reduction we obtain explicit bounds on the magnitude and continuity of the BL-constant in terms of the BL-data. To the best of our knowledge no such bounds were known, as past arguments relied on compactness. The continuity of BL-constants is important for developing non-linear BL inequalities that have recently found so many applications.

研究动机与目标

• 开发用于计算Brascamp-Lieb不等式关键参数的高效算法，这些参数此前仅知可在指数时间内计算。
• 为BL理论中的结构性结果提供算法版本，包括对已知定理的新证明或简化证明。
• 建立BL常数连续性与大小的显式定量界，解决先前依赖紧致性论证所留下的空白。
• 将这些算法结果扩展至Barthe提出的逆Brascamp-Lieb不等式。
• 利用算子缩放算法的连续性，推导BL常数的新连续性性质。

提出的方法

• 将给定的Brascamp-Lieb数据约化为算子缩放问题的一个实例，该问题具有多项式时间算法。
• 利用算子缩放算法对输入参数的连续依赖性，推导BL常数的连续性界。
• 通过统一的约化方法，将算子缩放框架应用于标准与逆Brascamp-Lieb不等式。
• 利用相同的约化与算法框架，构建BL-多面体的弱分离 oracle。
• 证明通过此约化，BL数据的可行性可多项式时间判定。
• 在输入BL数据的术语下，推导BL常数大小的显式界，此前这些界尚不为人所知。

实验结果

研究问题

• RQ1 Brascamp-Lieb数据的可行性能否在多项式时间内判定？
• RQ2 最优BL常数为何值，且能否高效计算？
• RQ3 能否从BL常数的算法计算中推导出其显式连续性界？
• RQ4 相同的算法框架能否扩展至逆Brascamp-Lieb不等式？
• RQ5 算子缩放算法是否为分析BL常数提供了新的、连续的方法？

主要发现

• 本文首次提供了判定Brascamp-Lieb数据可行性的多项式时间算法。
• 首次给出了计算最优Brascamp-Lieb常数的多项式时间算法。
• 在多项式时间内构建了BL-多面体的弱分离 oracle。
• 推导出BL常数的显式连续性界，此前这些界未知，且仅靠紧致性论证无法获得。
• 相同的算法框架适用于逆Brascamp-Lieb不等式，将结果扩展至这一重要类别。
• 将问题约化为算子缩放揭示了新的结构洞见，包括对BL理论中已知结果的替代或简化证明。