[论文解读] Algorithmic complexity of quantum states

C. E. Mora, Hans J. Briegel|ArXiv.org|Dec 22, 2004

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于高保真度制备纯量子态的量子线路经典描述长度的纯量子态算法复杂度定义。它证明了任意N量子比特量子态的复杂度上界为O(N²2^N)，并在将经典位串映射为计算基态时与经典Kolmogorov复杂度保持一致。

ABSTRACT

In this paper we give a definition for the Kolmogorov complexity of a pure quantum state. In classical information theory the algorithmic complexity of a string is a measure of the information needed by a universal machine to reproduce the string itself. We define the complexity of a quantum state by means of the classical description complexity of an (abstract) experimental procedure that allows us to prepare the state with a given fidelity. We argue that our definition satisfies the intuitive idea of complexity as a measure of ``how difficult'' it is to prepare a state. We apply this definition to give an upper bound on the algorithmic complexity of a number of states.

研究动机与目标

• 为纯量子态定义一种有意义的算法复杂度概念，以反映制备该态的物理难度。
• 填补量子信息理论中关于如何在纠缠或保真度之外量化量子态复杂度的空白。
• 确保该定义与复杂度的直观概念一致，即作为态制备的资源成本。
• 建立量子算法复杂度与经典Kolmogorov复杂度在将经典位串编码为量子态时的一致性。

提出的方法

• 将量子态的复杂度定义为制备该态保真度≥1−ε的量子线路的经典描述的Kolmogorov复杂度。
• 使用通用门集（例如Hadamard门、Toffoli门等）从有限的基本操作集合构建任意量子线路。
• 通过固定编码方案将线路表示为经典字符串，为门和控制结构（如换行符）分配符号。
• 对该字符串应用标准的经典Kolmogorov复杂度定义，以获得量子态的算法复杂度。
• 通过分析在给定保真度阈值下制备任意N量子比特态所需的最大电路规模，建立上下界。
• 与Vitányi的定义进行比较，证明差异至多为多项式级别。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何形式化地定义纯量子态的算法复杂度，使其能反映制备该态的物理难度？
• RQ2 在此定义下，任意N量子比特量子态的算法复杂度上界是什么？
• RQ3 当将经典位串编码为量子态时，该量子算法复杂度定义是否退化为经典Kolmogorov复杂度？
• RQ4 与Vitányi或Berthiaume等人等先前提案相比，该定义在一致性和计算成本方面表现如何？
• RQ5 该复杂度度量能否在不改变渐近行为的前提下，对量子门集进行粗粒化处理而保持不变？

主要发现

• 任意N量子比特纯量子态的算法复杂度上界为O(N²2^N)，该结果源于制备任意态且保真度≥1−1/2^N所需的最大电路长度。
• 对于态|φ⟩，其复杂度满足K^ε_Vit(|φ⟩) ≤ 2^N log(ε_Vit) + N ≈ N（当ε_Vit = 1−1/2^N时），表明其对精度的依赖为对数级。
• 网络复杂度K_net(|φ⟩)的上界为N²2^N log(ε_Vit) ≈ N²，虽比Vitányi的界大一个多项式因子，但仍与直观的复杂度尺度一致。
• 当经典N位串x被编码为量子态|x⟩时，量子算法复杂度K_net(|x⟩)在渐近意义上等价于经典Kolmogorov复杂度K_Cl(x)。
• 该定义在门集粗粒化下具有鲁棒性，因为渐近复杂度在该抽象下保持不变。
• 该方法将量子态视为一种抽象的实验制备过程，与玻尔的观点一致：态反映的是物理制备场景，而非物理实体本身。