[论文解读] Algorithmic solvability of the lifting-extension problem

Martin Čadek, Marek Krčál+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文提出了首个算法，用于在连通性与维数约束下，计算具有自由群作用的有限单纯集之间所有等变同伦类的集合。通过利用有效同调与莫尔-波斯特尼克ov塔，该算法在固定群和连通度的情况下实现了多项式时间计算，解决了提升-扩展问题的算法可解性，并实现了在稳定范围内的拓扑嵌入问题的多项式时间决策。

ABSTRACT

Let $X$ and $Y$ be finite simplicial sets (e.g. finite simplicial complexes), both equipped with a free simplicial action of a finite group $G$. Assuming that $Y$ is $d$-connected and $\dim X\le 2d$, for some $d\geq 1$, we provide an algorithm that computes the set of all equivariant homotopy classes of equivariant continuous maps $|X| o|Y|$; the existence of such a map can be decided even for $\dim X\leq 2d+1$. For fixed $G$ and $d$, the algorithm runs in polynomial time. This yields the first algorithm for deciding topological embeddability of a $k$-dimensional finite simplicial complex into $\mathbb{R}^n$ under the conditions $k\leq\frac 23 n-1$. More generally, we present an algorithm that, given a lifting-extension problem satisfying an appropriate stability assumption, computes the set of all homotopy classes of solutions. This result is new even in the non-equivariant situation.

研究动机与目标

• 开发一种算法，用于计算具有自由群作用的有限单纯集之间所有等变连续映射的等变同伦类的集合。
• 在维数与连通性约束下判断此类映射的存在性，扩展至稳定范围 dim X ≤ 2d+1。
• 提供一种通用的等变设定下提升-扩展问题的算法解法，利用有效同调与莫尔-波斯特尼克ov塔。
• 建立固定群与连通度下同伦类的多项式时间可计算性，从而实现拓扑嵌入问题的算法决策。
• 将先前非等变结果推广至等变情形，包括同伦类计算与同伦等价性检验。

提出的方法

• 利用 Sergeraert 等人提出的有效同调技术，实现同伦类的算法计算。
• 通过波斯特尼克ov不变量与上同调数据，利用莫尔-波斯特尼克ov塔递归构造提升-扩展问题的解。
• 引入基于有效结构的五蕴涵图的等变上链与上拉的多项式时间构造。
• 应用拉回函子将莫尔-波斯特尼克ov系统沿等变映射转移，保持有效同调结构。
• 采用两步分解提升问题：首先计算有效上链，然后通过多项式时间同态构造解。
• 依赖于提升-扩展问题的稳定性，以及假设 Y 是 d-连通的，且 dim X ≤ 2d+1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否算法化地计算具有自由 G-作用的有限单纯集之间所有等变映射的等变同伦类的集合？
• RQ2 在维数与连通性约束 dim X ≤ 2d+1 且 Y 是 d-连通的条件下，等变映射的存在性是否可在多项式时间内判定？
• RQ3 能否利用有效同调与波斯特尼克ov系统，在等变设定下算法化地解决提升-扩展问题？
• RQ4 该算法是否可扩展以计算等变同伦类群的同构类型，作为有限生成阿贝尔群？
• RQ5 该算法能否用于判定 k-维单纯复形在 k ≤ 2/3n − 1 时能否拓扑嵌入 R^n？

主要发现

• 当 Y 是 d-连通且 dim X ≤ 2d 时，该算法对固定 G 与 d 可在多项式时间内计算所有等变映射的等变同伦类集合。
• 当 dim X ≤ 2d+1 时，该算法可在多项式时间内判定等变映射的存在性。
• 等变同伦类的集合构成一个有限生成阿贝尔群，其同构类型通过生成元与关系被计算并输出。
• 该算法可实现多项式时间决策：当 k ≤ 2/3n − 1 时，k-维单纯复形是否可拓扑嵌入 R^n。
• 该方法将先前非等变结果推广至等变情形，首次在该背景下提供了提升-扩展问题的算法解法。
• 由于有效同调与有效链复形及同态上多项式时间函子的使用，该构造为多项式时间。