[论文解读] Algorithmically complex residually finite groups

Olga Kharlampovich, Alexei Myasnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文通过在类3可解群中模拟Minsky机，首次构造出具有任意高递归Dehn函数和深度函数的有限生成剩余有限群。关键贡献在于证明了类3有限可解群的普遍理论是不可判定的，从而解决了算法群论中长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

We construct the first examples of an algorithmically complex finitely presented residually finite groups and first examples of finitely presented residually finite groups with arbitrarily large (recursive) Dehn function and depth function. The groups are solvable of class 3. We also prove that the universal theory of finite solvable of class 3 groups is undecidable.

研究动机与目标

• 构造具有任意大Dehn函数的有限生成剩余有限群。
• 展示此类群具有任意大的深度函数。
• 解决有限可解类3群的普遍理论是否可判定的开放问题。
• 表明剩余有限群中的算法复杂度可超过超指数界限。
• 将Minsky机的模拟扩展至可解群，以在普遍理论中实现不可判定性。

提出的方法

• 使用具有大深度函数的有限生成幺半群模拟Minsky机。
• 通过群论构造将这些幺半群嵌入类3可解群中。
• 利用HNN扩张和p进拓扑保持剩余有限性，同时控制扭曲度。
• 构造一个群 $ G'(M_n) $，其模拟一个具有不可判定接受集与非终止集的四杯Minsky机。
• 通过普遍公式证明接受状态与非终止状态集合的递归不可分性。
• 确立在类 $ \mathcal{A}_p^2\mathcal{A} \cap \mathcal{Z}\mathcal{N}_5\mathcal{A} $ 中的有限群的普遍理论是不可判定的。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限生成剩余有限群的Dehn函数能否比任何递归函数增长得更快？
• RQ2 是否存在一个有限生成剩余有限群，其深度函数可任意大？
• RQ3 有限可解类3群的普遍理论是否可判定？
• RQ4 p进闭子群中的扭曲度与HNN扩张的剩余有限性之间有何关系？
• RQ5 能否在有限生成可解群中模拟Minsky机，以在它们的普遍理论中诱导出不可判定性？

主要发现

• 本文首次构造出具有任意高递归Dehn函数的有限生成剩余有限群。
• 首次提供了具有任意大深度函数的有限生成剩余有限群的例子。
• 证明了有限可解类3群的普遍理论是不可判定的。
• 通过在类3可解群中模拟四杯Minsky机，实现了不可判定性。
• 群 $ G'(M_n) $ 是有限生成的、剩余有限的，且具有不可判定字问题。
• Minsky机模拟中接受状态与非终止状态集合的递归不可分性，意味着对应有限群类的普遍理论不可判定。