[论文解读] Algorithms and Classification in Groups of Piecewise-Linear Homeomorphisms

Kenneth S. Brown|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 45被引用 14

一句话总结

本文提出了求解汤普森群 F、T 和 V 中基本决策问题的算法，包括同时共轭问题、根计算和中心化子确定。通过茎图和梅泽不变量，建立了完整的共轭不变量，并对一种基于群的加密协议进行了密码分析，为分段线性同胚群提供了全面的算法框架。

ABSTRACT

This manuscript represents the author's PhD dissertation thesis.The first part studies decision problems in Thompson's groups F,T,V and some generalizations. The simultaneous conjugacy problem is determined to be solvable for Thompson's group F and suitable larger groups of piecewise-linear homeomorphisms of the unit interval. We determine algorithms to compute roots and centralizers in these groups and to detect periodic points and their behavior by looking at a particular diagram associated to an element. In the second part, we describe the structure of subgroups of the group of all homeomorphisms of the unit circle, with the additional requirement that they contain no non-abelian free subgroup. It is shown that in this setting the rotation number map is a group homomorphism. We give a classification of such subgroups as subgroups of certain wreath products and we show that such subgroups can exist by building examples. Similar techniques are then used to compute centralizers in these groups.

研究动机与目标

• 开发用于求解汤普森群 F、T 和 V 中决策问题的算法，这些群在几何群论和逻辑学中具有核心地位。
• 利用分段线性和组合（茎图）方法，为 F 及其相关群提供同时共轭问题的完整解法。
• 通过梅泽不变量和茎图构建共轭不变量，实现对群元素的有效比较。
• 使用基于图式约化的算法技术，计算这些群中的根与中心化子。
• 对一种依赖于 F 中分解问题的基于群的加密协议进行完整密码分析。

提出的方法

• 利用约化的环形茎图作为汤普森群 F 中元素的组合表示，实现算法操作和共轭性测试。
• 将梅泽不变量构造应用于 F 中的单凸函数，表明共轭性由端点处的斜率和不变量值决定。
• 通过将元素分解为具有恒定斜率的区间，将 F 中的共轭问题约化为群胚中的分量共轭问题。
• 在无非交换自由子群的圆同胚子群中，利用旋转数映射作为群同态，通过毛纺积结构实现分类。
• 利用闭合茎图的结构检测周期点，并分析其在群元素作用下的动力学行为。
• 应用图群和群胚作用的技术，将 F 中的结果推广至 T 和 V，扩展共轭算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 汤普森群 F 及其推广中，同时共轭问题是否可解？
• RQ2 能否结合分段线性与组合（茎图）表示，构建一个完整的共轭不变量？
• RQ3 如何在分段线性同胚群中算法化地计算根与中心化子？
• RQ4 梅泽不变量在确定 F 中单凸函数共轭性方面起什么作用？
• RQ5 能否利用所开发的算法对依赖于 F 中分解问题的基于群的加密协议进行密码分析？

主要发现

• 汤普森群 F 及其适当的更大分段线性同胚群中，同时共轭问题可解。
• 基于分段线性结构和约化环形茎图，构建了共轭不变量，为共轭性提供了完整且算法化的判别准则。
• 通过茎图约化和分量分析，可算法化地计算 F 中的根与中心化子。
• 通过分析与群元素相关的闭合茎图，可检测周期点及其动力学行为。
• 对一种基于 F 中分解问题的基于群的加密协议实现了完整密码分析，表明其在所提算法下不安全。
• 无非交换自由子群的圆同胚子群被分类为某些毛纺积的子群，且在该设定下，旋转数映射被证明是群同态。