[论文解读] Algorithms and Hardness for Diameter in Dynamic Graphs

Bertie Ancona, Monika Henzinger+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文提出了近乎最优的动态近似算法，用于有向和无向图中的图直径、半径和偏心率，通过归约为增量/减量单源最短路径（SSSP）问题。在流行的细粒度复杂性假设下，证明了不存在显著优于从头计算或维护全源最短路径（APSP）的完全动态近似算法。对于减量图中的直径，实现了近乎 (3/2 + ϵ)-近似，总时间复杂度为 m^{1+o(1)}√n/ϵ²，与静态算法的条件最优性相匹配。

ABSTRACT

The diameter, radius and eccentricities are natural graph parameters. While these problems have been studied extensively, there are no known dynamic algorithms for them beyond the ones that follow from trivial recomputation after each update or from solving dynamic All-Pairs Shortest Paths (APSP), which is very computationally intensive. This is the situation for dynamic approximation algorithms as well, and even if only edge insertions or edge deletions need to be supported. This paper provides a comprehensive study of the dynamic approximation of Diameter, Radius and Eccentricities, providing both conditional lower bounds, and new algorithms whose bounds are optimal under popular hypotheses in fine-grained complexity. Some of the highlights include: - Under popular hardness hypotheses, there can be no significantly better fully dynamic approximation algorithms than recomputing the answer after each update, or maintaining full APSP. - Nearly optimal partially dynamic (incremental/decremental) algorithms can be achieved via efficient reductions to (incremental/decremental) maintenance of Single-Source Shortest Paths. For instance, a nearly $(3/2+ε)$-approximation to Diameter in directed or undirected graphs can be maintained decrementally in total time $m^{1+o(1)}\sqrt{n}/ε^2$. This nearly matches the static $3/2$-approximation algorithm for the problem that is known to be conditionally optimal.

研究动机与目标

• 为图直径、半径和偏心率等基础图参数的动态近似算法提供更完整的理解。
• 在细粒度复杂性假设（如SETH）下，建立完全动态近似算法的条件下界。
• 通过归约为动态SSSP维护，开发近乎最优的部分动态（增量/减量）算法。
• 确定现有动态近似界是否在条件意义下最优，或可进一步改进。
• 全面研究近似质量、更新时间与动态图操作之间的权衡。

提出的方法

• 将动态直径、半径和偏心率近似问题归约为增量或减量单源最短路径（SSSP）的维护问题。
• 采用确定性中心选择策略，采样顶点以在 (1−ϵ) 因子内近似偏心率。
• 使用带有误差参数 ϵ′ = ϵ/2 的近似SSSP数据结构，以控制距离估计中的近似误差。
• 为每个顶点维护最大堆，以追踪到任意中心的最大估计距离，用于查询响应。
• 应用一种改进的SSSP算法，支持边插入，并在每次更新后高效更新中心集。
• 使用强连通分量（SCC）检测和顶点ID重分配，确保插入后中心集保持单调性和正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在SETH假设下，是否可以将完全动态（4/3 − ϵ）-近似直径算法的摊销更新时间优于基于APSP的 ˜O(n²)？
• RQ2 在减量图中，(3/2 + ϵ)-近似直径是否条件最优，或可进一步改进？
• RQ3 能否通过归约为动态SSSP，实现半径和偏心率的近乎最优动态近似？
• RQ4 在SETH假设下，现有偏心率动态近似界（如 (5/3 − ϵ)）是否条件最优？
• RQ5 近似比、更新时间与动态SSSP作为子程序的使用之间存在何种权衡？

主要发现

• 在SETH假设下，任何完全动态（4/3 − ϵ）-近似直径算法的摊销更新时间均无法优于 ˜O(n²)，与基于APSP的界完全匹配。
• 在减量图中，近乎 (3/2 + ϵ)-近似直径可在总时间 ˜O(m^{1+o(1)}√n/ϵ²) 内维护，几乎达到静态 3/2-近似算法的条件最优性。
• 在无权、有向、强连通图中，增量偏心率的 (1−ϵ)-近似可在总时间 ˜O((Tinc(n,m,D′,ϵ)+m)n/(ϵ²D′)) 内维护，其中 D′ ≤ ε(v) 为参数。
• 近似正确性依赖于：对每个顶点 v，存在一个中心，其到 v 的最远顶点的距离不超过 ϵ′D′，从而通过三角不等式实现 (1−ϵ) 近似。
• 通过重分配ID，算法在边插入后维护前一中心集的超集，确保中心集的单调性和正确性。
• 总运行时间包括 ˜O(mn) 用于在 n 次插入中更新中心，SCC算法增加 O(m^{3/2}) 时间，两者均被控制在整体复杂度范围内。