[论文解读] Algorithms and hardness results for happy coloring problems

N. R. Aravind, Subrahmanyam Kalyanasundaram+2 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 15

一句话总结

本文研究了在部分k-染色图中最大化快乐边或快乐顶点的算法复杂性问题，证明了当k ≥ 3时，该问题在二分图和弦图上为NP-完全问题，并提出了在O*(2^n)时间内运行的精确算法，其中k=3时存在更优的O*(1.89^n)算法。此外，还为加权变体问题给出了线性顶点核，并在有界树宽或邻域多样性图上给出了多项式时间解法。

ABSTRACT

In a vertex-colored graph, an edge is happy if its endpoints have the same color. Similarly, a vertex is happy if all its incident edges are happy. Motivated by the computation of homophily in social networks, we consider the algorithmic aspects of the following Maximum Happy Edges (k-MHE) problem: given a partially k-colored graph G, find an extended full k-coloring of G maximizing the number of happy edges. When we want to maximize the number of happy vertices, the problem is known as Maximum Happy Vertices (k-MHV). We further study the complexity of the problems and their weighted variants. For instance, we prove that for every k >= 3, both problems are NP-complete for bipartite graphs and k-MHV remains hard for split graphs. In terms of exact algorithms, we show both problems can be solved in time O*(2^n), and give an even faster O*(1.89^n)-time algorithm when k = 3. From a parameterized perspective, we give a linear vertex kernel for Weighted k-MHE, where edges are weighted and the goal is to obtain happy edges of at least a specified total weight. Finally, we prove both problems are solvable in polynomial-time when the graph has bounded treewidth or bounded neighborhood diversity.

研究动机与目标

• 研究在部分k-染色图中最大化快乐边与快乐顶点的计算复杂性。
• 将困难性结果从一般图扩展到二分图与弦图等特定图类。
• 为问题的无权与加权变体设计精确的指数时间算法。
• 探索参数复杂性，特别是加权版本的核化方法。
• 识别可在多项式时间内求解的可 tractable 图类。

提出的方法

• 通过从已知的NP-难问题进行归约，证明k-MHE与k-MHV在二分图与弦图上的NP-完全性。
• 使用基于顶点子集的动态规划方法，设计O*(2^n)时间复杂度的算法，分别用于k-MHE与k-MHV。
• 通过定制化的分支策略，将k=3时的时间复杂度优化至O*(1.89^n)。
• 通过合并未染色顶点与同色顶点，构建加权图H，将问题约化为更小的实例。
• 利用邻域多样性t，通过利用顶点邻域的结构对称性，设计O*(2^t)时间复杂度的算法。
• 证明存在一种最优染色方式，使得每个未染色集合均为单色，从而实现高效的核化与向更小实例的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 当k ≥ 3时，k-MHE问题在二分图上是否为NP-完全问题？
• RQ2 当k ≥ 3时，k-MHV在弦图上是否仍为NP-难问题？
• RQ3 对于有界树宽或有界邻域多样性图，k-MHE与k-MHV问题是否可在亚指数时间内求解？
• RQ4 当k=3时，求解k-MHE与k-MHV的最佳可能时间复杂度是多少？
• RQ5 当以解的大小为参数时，k-MHV的加权版本是否具有多项式核？

主要发现

• 对于每个k ≥ 3，k-MHE与k-MHV在二分图上均为NP-完全问题。
• 对于每个k ≥ 3，k-MHV在弦图上为NP-完全问题。
• 无权k-MHE与k-MHV问题可在O*(2^n)时间内求解，当k=3时存在更优的O*(1.89^n)算法。
• 加权k-MHE具有线性顶点核，从而支持高效的参数化计算。
• 当输入图具有有界树宽或有界邻域多样性时，k-MHE与k-MHV均可在多项式时间内求解。
• 存在一种最优染色方式，使得每个未染色集合均为单色，从而可通过顶点合并实现向更小图的高效约化。