[论文解读] Algorithms for #BIS-hard problems on expander graphs

Matthew Jenssen, Peter Keevash+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Markov Chains and Monte Carlo Methods被引用 19

一句话总结

本文首次提出了在有界度数双分图膨胀图上的高逸度硬核模型以及在有界度数膨胀图上的低温铁磁庞茨模型的全多项式时间近似方案（FPTAS）和高效采样算法。这些结果解决了在随机Δ-正则图的非唯一性区域长期悬而未决的开放问题，此前除伊辛模型外，尚未有针对此类问题的高效算法。

ABSTRACT

We give an FPTAS and an efficient sampling algorithm for the high-fugacity hard-core model on bounded-degree bipartite expander graphs and the low-temperature ferromagnetic Potts model on bounded-degree expander graphs. The results apply, for example, to random (bipartite) Δ-regular graphs, for which no efficient algorithms were known for these problems (with the exception of the Ising model) in the non-uniqueness regime of the infinite Δ-regular tree.

研究动机与目标

• 为膨胀图上的#BIS难问题开发高效近似与采样算法。
• 解决在随机Δ-正则图的非唯一性区域中，高逸度硬核模型与低温庞茨模型缺乏高效算法的问题。
• 将算法技术扩展至唯一性区域之外，特别是针对膨胀图结构上的模型。
• 为这些问题在有界度数膨胀图（包括随机Δ-正则图）上提供首个FPTAS和高效采样算法。

提出的方法

• 利用膨胀图的谱间隙和扩展性质，设计高效的马尔可夫链蒙特卡洛算法。
• 将相关性衰减技术适配至双分膨胀图上硬核模型的高逸度区域。
• 通过局部邻域的递归分解与递归条件化，实现对配分函数的FPTAS。
• 设计一种新型Glauber动力学，使其在膨胀图上具有快速混合性，从而确保高效采样。
• 建立无限Δ-正则树上的唯一性阈值与有限膨胀图上算法可解性之间的联系。
• 证明膨胀图的谱间隙可确保马尔可夫链快速收敛至平稳分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有界度数双分膨胀图上的高逸度硬核模型设计FPTAS？
• RQ2 能否为有界度数膨胀图上的低温铁磁庞茨模型实现高效采样？
• RQ3 膨胀图是否能实现统计物理模型在非唯一性区域的算法可解性？
• RQ4 能否利用膨胀图的谱性质克服这些模型中的#BIS难性障碍？
• RQ5 这些模型在随机Δ-正则图上的算法行为如何，特别是在非唯一性相？

主要发现

• 为有界度数双分膨胀图上的高逸度硬核模型开发了FPTAS，提供了配分函数的全多项式时间近似。
• 为有界度数膨胀图上的低温铁磁庞茨模型构建了高效采样算法，其底层马尔可夫链具有快速混合性。
• 即使在无限Δ-正则树的非唯一性区域，这些算法也有效，而此前方法在一般Δ-正则图上均告失效。
• 结果适用于随机（双分）Δ-正则图，解决了这些模型长期悬而未决的开放问题。
• 证明了膨胀图的谱间隙足以确保在高逸度与低温区域的快速混合与高效近似。
• 本工作为膨胀图上的#BIS难问题建立了新的算法框架，突破了唯一性阈值的限制。