[论文解读] Algorithms for classical orthogonal polynomials

Wolfram Koepf, Dieter Schmersau|ArXiv.org|Dec 5, 1996

Mathematical functions and polynomials参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文通过仅从合流超几何型微分方程的系数推导公式，提出了经典正交多项式（如埃尔米特、拉盖尔、雅可比）的递推系数和导数规则的显式算法。关键贡献是提出一种系统性方法，仅利用多项式 σ(x) 和 τ(x) 即可计算递推关系与导数关系，从而实现正交多项式系统的高效符号计算。

ABSTRACT

In this article explicit formulas for the recurrence equation p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x) and the derivative rules sigma(x) p'_n(x) = alpha_n p_{n+1}(x) + beta_n p_n(x) + gamma_n p_{n-1}(x) and sigma(x) p'_n(x) = (alpha_n-tilde x + beta_n-tilde) p_n(x) + gamma_n-tilde p_{n-1}(x) respectively which are valid for the orthogonal polynomial solutions p_n(x) of the differential equation sigma(x) y''(x) + r(x) y'(x) + lambda_n y(x) = 0 of hypergeometric type are developed that depend only on the coefficients sigma(x) and tau(x) which themselves are polynomials w.r.t. x of degree not larger than 2 and 1, respectively. Partial solutions of this problem had beed previously published by Tricomi, and recently by Yáñez, Dehesa and Nikiforov.

研究动机与目标

• 开发经典正交多项式递推关系与导数关系的显式算法公式。
• 填补超几何型正交多项式递推系数与导数规则系统性计算的空白。
• 提供仅依赖于系数 σ(x) 和 τ(x) 的公式，其中 σ(x) 的次数不超过 2，τ(x) 的次数不超过 1。
• 将特里科米、亚涅斯、德赫萨与尼基福罗夫的先前部分结果统一并推广为一个连贯的计算框架。
• 仅通过微分方程参数实现正交多项式的符号计算，利用递推关系与导数规则。

提出的方法

• 从微分方程 σ(x)y'' + τ(x)y' + λny = 0 的系数 σ(x) 和 τ(x) 推导递推系数 An, Bn, Cn。
• 利用微分方程的结构，将多项式 pn(x) 的导数表示为 pn+1(x)、pn(x) 和 pn−1(x) 的线性组合。
• 通过系数匹配建立导数规则 σ(x)p'n(x) = αnpn+1(x) + βnpn(x) + γnpn−1(x)。
• 将导数规则转化为涉及平移参数的另一种形式：σ(x)p'n(x) = (α̃n − x + β̃n)p̃n(x) + γ̃npn−1(x)。
• 应用符号计算技术，将所有递推与导数系数显式表示为 σ(x) 和 τ(x) 的函数。
• 使用已知的经典正交多项式（如埃尔米特、拉盖尔、雅可比）作为测试用例，验证算法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从 σ(x) 和 τ(x) 系数系统性地计算经典正交多项式的递推系数 An, Bn, Cn？
• RQ2 导数规则 σ(x)p'n(x) = αnpn+1(x) + βnpn(x) + γnpn−1(x) 在 σ(x) 和 τ(x) 下的一般形式是什么？
• RQ3 导数规则能否以涉及 α̃n, β̃n, γ̃n 的平移参数形式重新表达？
• RQ4 生成经典正交多项式完整递推与导数结构所需的最小输入数据集（σ(x), τ(x)）是什么？
• RQ5 所推导的公式如何统一并扩展特里科米等人先前的部分结果？

主要发现

• 递推系数 An, Bn, Cn 由 σ(x) 和 τ(x) 的系数显式确定，其中 σ(x) 的次数不超过 2，τ(x) 的次数不超过 1。
• 导数规则 σ(x)p'n(x) = αnpn+1(x) + βnpn(x) + γnpn−1(x) 可完全用 σ(x) 和 τ(x) 表示，从而实现算法化计算。
• 推导出一种替代的导数规则：σ(x)p'n(x) = (α̃n − x + β̃n)pn(x) + γ̃npn−1(x)，该形式简化了符号运算。
• 该方法将特里科米、亚涅斯、德赫萨与尼基福罗夫的早期结果统一并推广为单一计算框架。
• 算法计算效率高，适用于符号计算系统的实现。
• 该方法可系统性地从微分方程参数生成所有经典正交多项式的递推与导数关系。