[论文解读] Algorithms for commutative algebras over the rational numbers

H. W. Lenstra, Alice Silverberg|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文提出了在有限维交换ℚ-代数中计算基本结构的确定性多项式时间算法，包括幂零根、素理想、局部化、剩余域、可分子代数和本原幂等元。该文引入了一种基于导子的新方法来实现幂等元对幂零元的提升，替代了传统的Hensel-Newton迭代，并给出了在任意交换环中均成立的显式公式，从而能够高效求解乘法群中的离散对数问题。

ABSTRACT

The algebras considered in this paper are commutative rings of which the additive group is a finite-dimensional vector space over the field of rational numbers. We present deterministic polynomial-time algorithms that, given such an algebra, determine its nilradical, all of its prime ideals, as well as the corresponding localizations and residue class fields, its largest separable subalgebra, and its primitive idempotents. We also solve the discrete logarithm problem in the multiplicative group of the algebra. While deterministic polynomial-time algorithms were known earlier, our approach is different from previous ones. One of our tools is a primitive element algorithm; it decides whether the algebra has a primitive element and, if so, finds one, all in polynomial time. A methodological novelty is the use of derivations to replace a Hensel-Newton iteration. It leads to an explicit formula for lifting idempotents against nilpotents that is valid in any commutative ring.

研究动机与目标

• 开发有限维交换ℚ-代数中核心计算问题的确定性多项式时间算法。
• 通过使用导子替代Hensel-Newton迭代，提供一种提升幂等元的方法。
• 高效且同时地计算Jordan-Chevalley分解（可分部分与幂零部分）。
• 在代数的乘法群中求解离散对数问题。
• 确定单位群的结构，包括从ℤ^S到E^*的群同态的核的生成元。

提出的方法

• 本文采用基于导子的方法替代Hensel-Newton迭代，提出了一种适用于任意交换环的幂等元提升的通用公式。
• 定义了一个自然的ℚ-线性映射δ: ℚ[X]/(g) → ℚ[X]/(g, g')，其核为E_sep，从而可直接计算可分子代数。
• 通过基于定理1.3的非迭代算法，同时计算幂零根与可分子代数，避免系数膨胀。
• 在E^*中求解离散对数的算法通过模素理想约化和在幂零根中的对数提升实现，利用Jordan-Chevalley分解。
• 通过结合残基域与幂零根上的核算法，并使用整数矩阵方法，实现单位群中核的计算。
• 该方法依赖于一个原元算法，可在多项式时间内判断原元的存在性并计算出原元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用迭代方法的前提下，以多项式时间同时计算ℚ-代数的幂零根与可分子代数？
• RQ2 是否存在一种基于导子的方法，可在任意交换环中有效实现幂等元对幂零元的提升，且避免使用Hensel-Newton迭代？
• RQ3 能否在确定性多项式时间内求解ℚ-代数乘法群中的离散对数问题？
• RQ4 在ℚ-代数中，确定所有素理想及其对应局部化的计算复杂度是多少？
• RQ5 当E为有限维ℚ-代数时，如何高效计算从ℤ^S到E^*的群同态的核？

主要发现

• 提出了一种确定性多项式时间算法，可同时计算E_sep与√0的ℚ-基，以及Jordan-Chevalley分解映射及其逆映射。
• 导子映射δ: E → Ω_{E/ℚ}的核并不总是等于E_sep，通过一个反例表明存在非可分元素属于ker(d)。
• 利用导子推导出一个显式公式，用于在任意交换环中实现幂等元对幂零元的提升。
• 在E^*中求解离散对数的算法通过模素理想约化与在幂零根中的对数提升相结合，运行时间在多项式时间内。
• 从ℤ^S到E^*的群同态的核通过残基域与幂零根上核的交集计算，使用整数矩阵核算法。
• 本文提供了可在多项式时间内判断存在性并计算出原元的原元算法。