[论文解读] Algorithms for Competitive Division of Chores

Simina Brânzei, Fedor Sandomirskiy|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2019

Economic theories and models被引用 7

一句话总结

本文提出了一种强多项式时间算法，用于在不允许可分物品的货币转移时，计算具有加法效用的代理人之间可分家务的全部竞争性均衡分配，当代理人数量或家务数量固定时。该方法结合了帕累托最优消费图的枚举、候选效用配置的显式公式，以及最大流计算以验证竞争力，从而解决了公平分配中“坏物品”问题的一个开放难题。

ABSTRACT

We study the problem of allocating divisible bads (chores) among multiple agents with additive utilities when monetary transfers are not allowed. The competitive rule is known for its remarkable fairness and efficiency properties in the case of goods. This rule was extended to chores in prior work by Bogomolnaia, Moulin, Sandomirskiy, and Yanovskaya (2017). The rule produces Pareto optimal and envy-free allocations for both goods and chores. In the case of goods, the outcome of the competitive rule can be easily computed. Competitive allocations solve the Eisenberg-Gale convex program; hence the outcome is unique and can be approximately found by standard gradient methods. An exact algorithm that runs in polynomial time in the number of agents and goods was given by Orlin (2010). In the case of chores, the competitive rule does not solve any convex optimization problem; instead, competitive allocations correspond to local minima, local maxima, and saddle points of the Nash social welfare on the Pareto frontier of the set of feasible utilities. The Pareto frontier may contain many such points; consequently, the competitive rule's outcome is no longer unique. In this paper, we show that all the outcomes of the competitive rule for chores can be computed in strongly polynomial time if either the number of agents or the number of chores is fixed. The approach is based on a combination of three ideas: all consumption graphs of Pareto optimal allocations can be listed in polynomial time; for a given consumption graph, a candidate for a competitive utility profile can be constructed via an explicit formula; each candidate can be checked for competitiveness, and the allocation can be reconstructed using a maximum flow computation. Our algorithm gives an approximately-fair allocation of indivisible chores by the rounding technique of Barman and Krishnamurthy (2018).

研究动机与目标

• 解决在不允许货币转移时，计算可分家务的竞争性分配这一开放问题。
• 克服家务分配问题的非凸性，该非凸性使得标准凸优化技术无法应用。
• 为在代理人数量或家务数量固定时，计算所有竞争性效用配置提供一个多项式时间算法。
• 通过舍入技术实现不可分家务的近似公平分配。
• 将两人情况下的算法洞察推广到具非平凡结构复杂性的通用n人情形。

提出的方法

• 利用帕累托前沿的结构，在多项式时间内枚举所有帕累托最优分配的可能消费图。
• 对于每个消费图，基于代理人价值和预算，通过显式公式构造候选竞争性效用配置。
• 使用最大流计算验证每个候选配置的竞争力，以检查预算和价格一致性条件。
• 使用Devanur等人[DPVS02]的算法，从已验证的效用配置重构可行分配。
• 利用可分家务的竞争性分配对应于帕累托前沿上纳什社会福利的临界点（鞍点、局部极值）的事实。
• 应用Barman和Krishnamurthy[BK19]的舍入技术，获得不可分家务的近似公平分配。

实验结果

研究问题

• RQ1 当代理人数量或家务数量固定时，是否可以以强多项式时间计算出所有可分家务的竞争性分配？
• RQ2 给定非凸优化无法捕捉其特性，家务情形下的竞争性分配集合具有何种结构性特征？
• RQ3 尽管不存在凸规划，如何从算法上解决家务竞争结果的非唯一性问题？
• RQ4 用于家务的方法能否推广到同时包含商品和坏物的混合经济？
• RQ5 是否存在一种通用方法，用于在代理人面临消费上限的约束经济中计算竞争性分配？

主要发现

• 当代理人数量或家务数量固定时，可分家务的所有竞争性效用配置均可在强多项式时间内计算。
• 该算法枚举所有帕累托最优消费图，并使用最大流验证每个图的竞争力，确保了正确性与完备性。
• 家务的竞争性规则无法由任何凸规划捕捉；相反，竞争性分配是帕累托前沿上纳什社会福利的临界点。
• 该方法通过舍入技术得到不可分家务的近似公平分配，性能与现有技术相当，但具有全新的算法基础。
• 对于两人情形，帕累托前沿的结构允许高效计算，但推广到更多代理人则需要对图枚举和基于最大流的验证提出新颖见解。
• 该方法可推广至公平分配问题和具有消费上限的约束经济，表明其在基础模型之外具有更广泛的应用潜力。