[论文解读] Algorithms for Computing the Petz-Augustin Capacity

Chun-Neng Chu, Wei-Fu Tseng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2026

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一句话总结

作者提出了计算经典-量子（CQ）信道的Petz-Augustin容量的第一批非渐近算法，采用两种互补的方法来处理Petz-Rényi和Petz-Augustin信息。它们给出 Hölder-平滑优化和 Blahut-Arimoto 型方法，并给出收敛速率证明与一个固定点内部求解器。

ABSTRACT

We propose the first algorithms with non-asymptotic convergence guarantees for computing the Petz-Augustin capacity, which generalizes the channel capacity and characterizes the optimal error exponent in classical-quantum channel coding. This capacity can be equivalently expressed as the maximization of two generalizations of mutual information: the Petz-Rényi information and the Petz-Augustin information. To maximize the Petz-Rényi information, we show that it corresponds to a convex Hölder-smooth optimization problem, and hence the universal fast gradient method of Nesterov (2015), along with its convergence guarantees, readily applies. Regarding the maximization of the Petz-Augustin information, we adopt a two-layered approach: we show that the objective function is smooth relative to the negative Shannon entropy and can be efficiently optimized by entropic mirror descent; each iteration of entropic mirror descent requires computing the Petz-Augustin information, for which we propose a novel fixed-point algorithm and establish its contractivity with respect to the Thompson metric. Notably, this two-layered approach can be viewed as a generalization of the mirror-descent interpretation of the Blahut-Arimoto algorithm due to He et al. (2024).

研究动机与目标

• 将信道容量计算推广到CQ信道的Petz-Augustin框架。
• 为Petz-Rényi与Petz-Augustin信息最大化提供非渐近的收敛性保证。
• 提供将镜像下降（mirror-descent）对Blahut-Arimoto在量子环境中的解读扩展为实用算法。
• 分析算法收敛性并为内部固定点求解器建立收缩性。

提出的方法

• 通过指数化目标将Petz-Rényi信息最大化，得到一个凸的 Hölder-平滑问题，并使用通用快速梯度法求解。
• 证明目标在简单集合上对α∈[1/2,1)时为((1-α)/α, 1/α)-Hölder平滑，从而能够以 Hölder-平滑优化实现收敛速率 O(T^{1-1.5/α}).
• 为Petz-Augustin容量开发一个Blahut-Arimoto型算法，通过嵌套内部固定点算法来计算 I_α^A(p,W)，以及外部的熵镜像下降步骤在输入分布上进行优化。
• 证明内部固定点循环在Thompson度量下具有收缩性，从而实现内部计算的线性收敛。
• 在相对光滑性（负的Petz-Augustin信息）下，外部循环的熵镜像下降收敛性达到 O(1/T)。
• 讨论对带约束的输入问题的含义，并使该方法与 PDHG 方法相关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非渐近收敛保证下计算CQ信道的Petz-Augustin容量？
• RQ2 Petz-Rényi 与 Petz-Augustin 信息的最大化是否能通过两种不同的优化框架（Hölder-平滑 vs. 镜像下降）高效实现？
• RQ3 在 CQ 情况下，所提出的 Hölder-平滑和 Blahut-Arimoto 型方法的收敛性质和速率为何？
• RQ4 如何使 I_α^A(p,W) 的内部固定点计算具有效收缩性且对外部优化可微？
• RQ5 这些算法如何扩展到带约束的输入问题，并与现有的Arimoto-Blahut广义化相关联？

主要发现

• Hölder-平滑方法在 α∈[1/2,1) 时的收敛速率为 O(T^{1-1.5/α}).
• I_α^A(p,W) 的内部固定点求解器在 Thompsons度量下线性收敛，能够以 O(log(1/ε)) 次迭代获得 ε 近似梯度与值。
• 外部的熵镜像下降方法在 Petz-Augustin 信息优化上实现 O(1/T) 的收敛速率。
• Blahut-Arimoto 型算法与 Hölder-平滑方法提供互补的收敛速率，经验结果显示 α 依赖的性能权衡。
• 这些方法将 Blahut-Arimoto 的镜像下降解读扩展到 Petz-Augustin 容量，并可处理某些输入约束情形。