[论文解读] Algorithms for Probabilistically-Constrained Models of Risk-Averse Stochastic Optimization with Black-Box Distributions

Chaitanya Swamy|ArXiv.org|May 4, 2008

Risk and Portfolio Optimization参考文献 38被引用 4

一句话总结

本文针对仅能通过抽样访问底层分布的黑箱分布下，具有概率约束的风险规避随机优化问题，提出了新颖的近似算法。它为线性规划松弛问题提出了全多项式时间近似方案（FPTAS），并设计了一种保持预算和概率阈值在有界近似因子内的舍入框架，首次实现了此类问题在黑箱分布下的相关结果。

ABSTRACT

We consider various stochastic models that incorporate the notion of risk-averseness into the standard 2-stage recourse model, and develop novel techniques for solving the algorithmic problems arising in these models. A key notable feature of our work that distinguishes it from work in some other related models, such as the (standard) budget model and the (demand-) robust model, is that we obtain results in the black-box setting, that is, where one is given only sampling access to the underlying distribution. Our first model, which we call the risk-averse budget model, incorporates the notion of risk-averseness via a probabilistic constraint that restricts the probability (according to the underlying distribution) with which the second-stage cost may exceed a given budget B to at most a given input threshold ρ. We also a consider a closely-related model that we call the risk-averse robust model, where we seek to minimize the first-stage cost and the (1-ρ)-quantile of the second-stage cost. We obtain approximation algorithms for a variety of combinatorial optimization problems including the set cover, vertex cover, multicut on trees, min cut, and facility location problems, in the risk-averse budget and robust models with black-box distributions. We obtain near-optimal solutions that preserve the budget approximately and incur a small blow-up of the probability threshold (both of which are unavoidable). To the best of our knowledge, these are the first approximation results for problems involving probabilistic constraints and black-box distributions. A major component of our results is a fully polynomial approximation scheme for solving the LP-relaxation of the risk-averse problem.

研究动机与目标

• 在仅能通过抽样访问分布的情况下，为具有概率约束的风险规避随机优化模型开发近似算法。
• 解决现有模型（如预算模型和鲁棒模型）的局限性，这些模型需要显式枚举场景，在黑箱环境下失效。
• 设计在抽样约束下，同时保持预算和概率阈值违反情况近似可行的算法。
• 将结果扩展至非均匀场景预算，以及结合期望与分位数目标的加权组合的广义风险规避鲁棒模型。
• 建立基本的样本复杂度下界，表明在黑箱模型中，有界样本量无法实现精确的概率阈值满足。

提出的方法

• 为具有概率约束的风险规避预算问题的线性规划松弛问题，开发全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 引入一种舍入过程，利用现有基于线性规划的确定性或标准随机对应问题的近似算法，对分数解进行舍入。
• 通过基于抽样的第二阶段成本和概率约束估计，构建在分布不确定性下的可行解。
• 应用集中不等式和统计学习技术，界定为在给定阈值内估计超出预算概率所需样本数量。
• 通过信息论论证，将风险规避集合覆盖等组合问题归约，以建立样本复杂度下界。
• 将框架推广至处理鲁棒模型中期望与(1−ρ)-分位数第二阶段成本的加权组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 当仅能通过抽样访问底层分布时，能否为风险规避随机优化问题设计近似算法？
• RQ2 在黑箱分布下，为概率约束模型实现常数因子近似，所需的最少样本数是多少？
• RQ3 在黑箱环境下，能否在实现近似最优目标值的同时，近似保持预算和概率阈值约束？
• RQ4 当概率阈值以加法或乘法方式违反时，样本复杂度和近似保证如何变化？
• RQ5 该框架能否扩展至结合期望与分位数目标的广义风险规避模型？

主要发现

• 本文首次为具有黑箱分布的风险规避预算问题的线性规划松弛问题，提出了全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 研究证明，任何以有界失败概率 δ < 1/2 实现 (ε,γ)-最优解的算法，若概率阈值违反不超过加法量级 κ，则必须抽取 Ω(1/κ) 个样本。
• 当概率阈值以乘法方式违反因子 (1+κ)，且阈值为 ρ 时，所需样本量为 Ω(1/(κρ))。
• 不可能性结果表明，即使在标准预算模型中，仅用有界样本量也无法实现精确的概率阈值满足（即 κ=0 时不可能）。
• 该框架在预算和概率阈值上均实现了近似最优解，且两者均存在有界膨胀，这在黑箱约束下是不可避免的。
• 结果可推广至非均匀场景预算以及结合期望与(1−ρ)-分位数目标的广义风险规避鲁棒模型。