[论文解读] Algorithms for Quantum Branching Programs Based on Fingerprinting

Farid Ablayev, Alexander Vasiliev|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 3

一句话总结

本文提出一种基于指纹识别的方法，利用特征多项式构建布尔函数的最优量子有序分支程序（QOBDD）。通过利用量子指纹识别和基于经典输入的酉变换，该方法实现了对 $MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$ 和 $PERM_n$ 等函数的宽度高效 QOBDD，并将指纹识别技术推广至布尔隐藏子群问题，实现了 $O(n)$ 宽度的 QOBDD。

ABSTRACT

In the paper we develop a method for constructing quantum algorithms for computing Boolean functions by quantum ordered read-once branching programs (quantum OBDDs). Our method is based on fingerprinting technique and representation of Boolean functions by their characteristic polynomials. We use circuit notation for branching programs for desired algorithms presentation. For several known functions our approach provides optimal QOBDDs. Namely we consider such functions as Equality, Palindrome, and Permutation Matrix Test. We also propose a generalization of our method and apply it to the Boolean variant of the Hidden Subgroup Problem.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于构建比经典方法更高效的量子有序只读一次分支程序（QOBDD）。
• 解决为基本布尔函数（如 $MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$ 和 $PERM_n$）设计宽度最优 QOBDD 的挑战。
• 将指纹识别技术推广至量子分支程序模型，以解决布尔版本的隐藏子群问题。
• 建立布尔函数的特征多项式与通过量子指纹识别实现高效量子计算之间的联系。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}_{2^n}$ 上通过布尔函数的特征多项式表示其形式，实现对量子算法设计的代数操作。
• 通过使用受经典输入变量控制的受控酉操作，将函数值编码为量子态，实现量子指纹识别。
• 使用电路符号将 QOBDD 建模为具有经典控制的量子电路，其中每条指令根据输入位 $\sigma_{i_j}$ 应用一个酉操作 $U_j(\sigma_{i_j})$。
• 通过投影测量 $M_{\text{accept}}$ 计算接受概率 $||M_{\text{accept}}|\psi_\sigma\rangle||^2_2$ 作为最终输出。
• 构造两个关键多项式：$g_1(x)$ 用于验证陪集内的常数值，$g_2(x)$ 用于验证不同陪集之间的值互异，以解决隐藏子群问题。
• 利用广义指纹识别技术，实现具有单边错误的 $O(n)$ 宽度 QOBDD，用于布尔隐藏子群问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 指纹识别技术能否被调整以构建基本布尔函数的最优 QOBDD？
• RQ2 布尔函数的特征多项式如何用于设计高效的量子分支程序？
• RQ3 使用有序只读一次分支程序计算 $MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$ 和 $PERM_n$ 的量子复杂度是多少？
• RQ4 指纹识别方法能否推广至以宽度高效方式解决具有有界误差的布尔隐藏子群问题？

主要发现

• 该方法利用指纹识别和特征多项式，为 $MOD_m$、$EQ_n$、$Palindrome_n$ 和 $PERM_n$ 构建了最优 QOBDD。
• 对于 $MOD_m$，QOBDD 宽度为 $O(m)$，与已知下界一致，证明了其最优性。
• 对于 $EQ_n$，QOBDD 宽度为 $O(n)$，实现了该函数的最优效率。
• 对于 $Palindrome_n$，QOBDD 宽度为 $O(n)$，展示了相对于经典 OBDD 的指数优势。
• 对于 $PERM_n$，QOBDD 宽度为 $O(n)$，表明其在排列矩阵测试中具有高效的量子计算能力。
• 广义指纹识别方法为布尔隐藏子群问题生成了 $O(n)$ 宽度的 QOBDD，具有单边错误，其中 $n = |G|\lceil\log(G:K)\rceil$。