[论文解读] Algorithms for Subpath Convex Hull Queries and Ray-Shooting Among Segments

Haitao Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 29被引用 2

一句话总结

本文提出了一种在包含 n 个顶点的简单路径上进行子路径凸包查询的 O(n) 空间、O(log n) 查询时间的数据结构，相较于以往实现相同查询时间但需要 O(n log log n) 空间的工作有所改进。通过利用紧凑区间树和高效的预处理，该方法实现了更快且更节省空间的射线投射和线段交点检测，将空间复杂度降低了 log log n 因子，同时在查询时间和预处理时间上与数十年前的结果相比保持或进一步提升。

ABSTRACT

In this paper, we first consider the subpath convex hull query problem: Given a simple path $π$ of $n$ vertices, preprocess it so that the convex hull of any query subpath of $π$ can be quickly obtained. Previously, Guibas, Hershberger, and Snoeyink [SODA 90'] proposed a data structure of $O(n)$ space and $O(\log n\log\log n)$ query time; reducing the query time to $O(\log n)$ increases the space to $O(n\log\log n)$. We present an improved result that uses $O(n)$ space while achieving $O(\log n)$ query time. Like the previous work, our query algorithm returns a compact interval tree representing the convex hull so that standard binary-search-based queries on the hull can be performed in $O(\log n)$ time each. Our new result leads to improvements for several other problems. In particular, with the help of the above result, we present new algorithms for the ray-shooting problem among segments. Given a set of $n$ (possibly intersecting) line segments in the plane, preprocess it so that the first segment hit by a query ray can be quickly found. We give a data structure of $O(n\log n)$ space that can answer each query in $(\sqrt{n}\log n)$ time. If the segments are nonintersecting or if the segments are lines, then the space can be reduced to $O(n)$. All these are classical problems that have been studied extensively. Previously data structures of $\widetilde{O}(\sqrt{n})$ query time (the notation $\widetilde{O}$ suppresses a polylogarithmic factor) were known in early 1990s; nearly no progress has been made for over two decades. For all problems, our results provide improvements by reducing the space of the data structures by at least a logarithmic factor while the preprocessing and query times are the same as before or even better.

研究动机与目标

• 设计一种用于子路径凸包查询的数据结构，实现 O(log n) 查询时间且仅需 O(n) 空间，从而弥合空间与查询时间之间长期存在的权衡差距。
• 通过利用新型子路径凸包数据结构，提升计算几何中射线投射和线段交点检测问题的效率。
• 通过新子路径凸包结构将现有几何算法（如守卫集合、用矩形包围多边形、top-k 最近/最远邻点查询）的空间复杂度降低 log log n 因子，同时不降低时间复杂度。
• 提供一种实用且高效的方法，通过紧凑区间树支持凸包上的可分解与不可分解查询，优于以往并行或灵活性较差的方法。

提出的方法

• 在顶点按 x 坐标排序后，通过线性时间预处理步骤，构建任意查询子路径凸包的紧凑区间树表示。
• 通过路径的分层分解实现凸包上的对数时间查询，每个查询返回一个支持 O(log n) 时间操作（如极值点查询和直线交点）的结构。
• 通过涉及平面剖分和范围搜索的分层方法，将子路径凸包数据结构集成到射线投射算法中，使用 Chan 的划分树实现高效单元遍历。
• 通过将问题约化为构造路径上子路径的凸包查询，将射线投射于直线和线段的问题转化为子路径凸包查询。
• 采用多层数据结构和单纯形范围搜索技术，将交点检测的查询时间控制在 O(√n log n)，同时通过随机化将预处理时间优化至 O(n log n) 高概率。
• 利用 Chazelle 和 Guibas [11] 的结果，并创新性地应用紧凑区间树，高效支持不可分解查询，实现相对于凸包大小线性时间输出实际凸包边。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种子路径凸包查询数据结构，实现 O(n) 空间和 O(log n) 查询时间，匹配最佳查询时间的同时消除对 O(n log log n) 空间的依赖？
• RQ2 新子路径凸包结构能否用于改进射线投射和线段之间交点检测，特别是在存在相交线段的情况下？
• RQ3 能否利用新子路径凸包结构将现有几何算法（如守卫集合、用矩形包围多边形、top-k 最近/最远邻点查询）的空间复杂度降低 log log n 因子？
• RQ4 是否能够通过紧凑区间树表示，同时支持凸包上的可分解与不可分解查询，并实现相对于凸包大小线性时间输出凸包边？
• RQ5 能否将预处理时间降低至 O(n log n) 高概率，同时保持射线投射和交点检测问题的 O(√n log n) 查询时间？

主要发现

• 本文首次提出一种 O(n) 空间、O(log n) 查询时间的子路径凸包查询数据结构，实现了空间与查询时间之间的最优权衡。
• 新数据结构支持所有基于二分查找的凸包查询操作，每次查询时间均为 O(log n)，且能以与凸包顶点数成线性关系的时间输出实际凸包边。
• 对于 n 条直线的射线投射问题，本文实现了 O(n) 空间和 O(√n log n) 查询时间的数据结构，优于以往需 O(n log n) 空间才能实现相同查询时间的结果。
• 对于 n 条（可能相交）线段的射线投射问题，本文实现了 O(n log n) 空间和 O(√n log n) 查询时间，相较于以往工作将空间复杂度降低了 log log n 因子。
• 对于查询直线与 n 条线段的交点检测问题，本文提供了一种 O(n) 空间、O(√n log n) 查询时间的数据结构，再次将空间复杂度降低了 log log n 因子。
• 新子路径凸包结构在多个几何问题中实现了更高的空间效率：守卫集合计算、用两个矩形包围多边形，以及 L1 top-k 加权和最近/最远邻点查询，所有问题均将空间复杂度从 O(n log log n) 降低至 O(n)，同时保持或提升时间复杂度。