[论文解读] Algorithms for symmetric submodular function minimization under hereditary constraints and generalizations

Soto San Martín, José|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，可在继承族约束（如基数、背包、拟阵或图诱导约束）下找到对称子模函数的非空最小化器——仅需 O(n³) 次预言机查询。该方法扩展了 Queyranne 针对无约束对称子模最小化的算法，并在约束限制搜索空间的情况下，保证在立方数量级的函数评估中获得最优解。

ABSTRACT

We present an efficient algorithm to find non-empty minimizers of a symmetric submodular function over any family of sets closed under inclusion. This for example includes families defined by a cardinality constraint, a knapsack constraint, a matroid independence constraint, or any combination of such constraints. Our algorithm make $O(n^3)$ oracle calls to the submodular function where $n$ is the cardinality of the ground set. In contrast, the problem of minimizing a general submodular function under a cardinality constraint is known to be inapproximable within $o(\sqrt{n/\log n})$ (Svitkina and Fleischer [2008]). The algorithm is similar to an algorithm of Nagamochi and Ibaraki [1998] to find all nontrivial inclusionwise minimal minimizers of a symmetric submodular function over a set of cardinality $n$ using $O(n^3)$ oracle calls. Their procedure in turn is based on Queyranne's algorithm [1998] to minimize a symmetric submodular

研究动机与目标

• 解决在对包含关系封闭的继承集族上最小化对称子模函数的问题。
• 将 Queyranne 针对无约束对称子模最小化的立方时间算法扩展至约束设置。
• 为约束最小化问题提供一种强多项式时间算法，其预言机复杂度紧致为 O(n³)。
• 处理包括基数、背包、拟阵独立性以及图诱导继承性质在内的各类一般约束。

提出的方法

• 通过在每一步保持可行性，将 Queyranne 的算法框架适配至继承族约束下。
• 采用基于枢轴的选择策略，迭代缩小候选集合，同时保持最优解仍位于其中。
• 采用类似于 Nagamochi 与 Ibaraki 方法的递归分解策略，但针对继承族的包含性进行了调整。
• 利用函数 f 的对称性与子模性，确保每次预言机调用都能提供关于最小化器位置的有意义信息。
• 应用最小解选择过程，返回家族中所有最小化器里最小的最优解。
• 通过补集操作推广至余继承族，从而能够求解对称子模系统中的收缩问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在继承约束下，对称子模函数最小化是否能以强多项式时间求解，并且预言机查询次数有界？
• RQ2 如何在不增加预言机复杂度的前提下，将 Queyranne 的无约束对称子模最小化算法适配至约束设置？
• RQ3 该框架能够高效处理哪些类型的组合约束（如基数、拟阵、背包等）？
• RQ4 是否可能仅用 O(n³) 次预言机调用找到继承族下所有最小最优解？
• RQ5 能否通过与补集族的对偶性，将该方法扩展至对称子模函数的收缩问题？

主要发现

• 该算法使用精确的 O(n³) 次预言机查询，找到任意继承族上对称子模函数的非空最小化器，其中 n 为基集的大小。
• 返回的解是最小最优解，即其任何真子集都不是最优的。
• 该方法适用于多种约束类型，包括基数、背包、拟阵独立性以及图诱导的继承性质。
• 尽管增加了约束结构，该算法的预言机复杂度仍与 Queyranne 无约束算法的最佳已知复杂度保持一致。
• 通过补集操作，该方法可推广至余继承族，从而能够求解对称子模系统中的收缩问题。
• 该方法对函数类型具有鲁棒性，包括由对称、单调及一致距离映射导出的函数，只要诱导函数 f(S) = d(S, V\S) 是可接受的。