[论文解读] Algorithms for Tverberg's theorem via centerpoint theorems

David Rolnick, Pablo Soberón|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文通过利用中心点的近似，提出了在欧几里得空间中计算Tverberg划分的概率算法，实现了在点数和维度上的弱多项式时间复杂度。主要贡献是首次提出针对 $k \sim n/d^3$ 的Tverberg划分的弱多项式时间算法，显著提升了高维数据下方法的效率与可扩展性。

ABSTRACT

We obtain algorithms for computing Tverberg partitions based on centerpoint approximations. This applies to a wide range of convexity spaces, from the classic Euclidean setting to geodetic convexity in graphs. In the Euclidean setting, we present probabilistic algorithms which are weakly polynomial in the number of points and the dimension. For geodetic convexity in graphs, we obtain deterministic algorithms for cactus graphs and show that the general problem of finding the Radon number is NP-hard.

研究动机与目标

• 开发用于在高维欧几里得空间中计算Tverberg划分的高效算法。
• 将Tverberg型算法扩展到更一般的凸性结构，例如图中的测地凸性。
• 建立中心点计算与Tverberg划分之间的联系，以推动算法进展。
• 分析基于图的凸性中Tverberg型问题的计算复杂度，包括NP难性结果。
• 提供首个针对 $k \sim n/d^3$ 的Tverberg划分的弱多项式时间算法。

提出的方法

• 以Clarkson等人（1996）提出的中心点近似为基础，构建Tverberg划分。
• 设计概率算法，以误差概率 $\varepsilon$ 返回有效的 $k$-Tverberg划分，利用中心点近似。
• 应用中心点理论方法，推导出在 $n$、$d$ 和 $\log(1/\varepsilon)$ 上为弱多项式时间的算法，其中 $k = \lceil n/(d(d+1)^2) \rceil$。
• 通过在整数格点中利用基于中心点的构造，将该框架扩展至整数Tverberg划分。
• 通过基于公式提升的图构造，从CNF可满足性问题约化，证明在图中计算测地Radon数为NP难。
• 在仙人掌图中利用最短路径结构，确保 $w^+$ 和 $w^-$ 必须位于任何Radon划分的不同部分，从而支持难解性证明。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用中心点近似技术设计出在欧几里得空间中计算Tverberg划分的高效算法？
• RQ2 在图的测地凸性中，寻找Tverberg划分的计算复杂度是什么？
• RQ3 是否存在针对 $k$ 接近理论最大值 $n/(d+1)$ 的Tverberg划分的弱多项式时间算法？
• RQ4 在一般图中计算测地凸性下的Radon数的复杂度是多少？
• RQ5 中心点与Tverberg划分之间的联系能否推广到整数或彩色Tverberg情形？

主要发现

• 本文首次提出针对 $k = \lceil n/(d(d+1)^2) \rceil$ 的Tverberg划分的弱多项式时间算法，其运行时间在 $n$、$d$ 和 $\log(1/\varepsilon)$ 上为弱多项式。
• 对于 $k = \lceil n(\frac{1}{d+1} - \lambda)\frac{1}{d} \rceil$，其中 $d$、$\lambda$ 和 $\varepsilon$ 固定，该算法以弱多项式时间 $O(n^4 \log(1/\varepsilon))$ 运行。
• 针对 $k \sim n/d^3$ 的算法是首个在所有参数 $n$、$d$ 和 $\log(1/\varepsilon)$ 上实现弱多项式依赖的算法。
• 作者证明在一般图中计算测地Radon数为NP难，即使在仙人掌图中也是如此。
• 基于将CNF公式提升至 $\Phi^\ell$ 的新构造，实现了从3-SAT到Radon数问题的约化，从而证明了NP难性。
• 本文建立了中心点近似与Tverberg划分之间新颖的算法联系，使得在欧几里得空间和图凸性设置中均能实现高效计算。