[论文解读] Algorithms, Reductions and Equivalences for Small Weight Variants of All-Pairs Shortest Paths

Timothy M. Chan, Virginia Vassilevska Williams+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文建立了有向无权图中所有点对最短路径（APSP）与若干涉及小整数权重的变体之间的细粒度等价性，包括 cRed-APSP、#≤cAPSP、具有加法误差的近似 APSP，以及所有点对轻量最短路径。证明了这些问题在归约下计算等价，表明改进有向无权图中的 APSP 将需要在矩形 Min-Plus 乘积计算方面取得突破，并为多个变体提出了新的近乎最优算法，包括一个 ˜O(n³)-时间的 #APSP 和介数中心性算法。

ABSTRACT

APSP with small integer weights in undirected graphs [Seidel'95, Galil and Margalit'97] has an $ ilde{O}(n^ω)$ time algorithm, where $ω<2.373$ is the matrix multiplication exponent. APSP in directed graphs with small weights however, has a much slower running time that would be $Ω(n^{2.5})$ even if $ω=2$ [Zwick'02]. To understand this $n^{2.5}$ bottleneck, we build a web of reductions around directed unweighted APSP. We show that it is fine-grained equivalent to computing a rectangular Min-Plus product for matrices with integer entries; the dimensions and entry size of the matrices depend on the value of $ω$. As a consequence, we establish an equivalence between APSP in directed unweighted graphs, APSP in directed graphs with small $( ilde{O}(1))$ integer weights, All-Pairs Longest Paths in DAGs with small weights, approximate APSP with additive error $c$ in directed graphs with small weights, for $c\le ilde{O}(1)$ and several other graph problems. We also provide fine-grained reductions from directed unweighted APSP to All-Pairs Shortest Lightest Paths (APSLP) in undirected graphs with $\{0,1\}$ weights and $\#_{ ext{mod}\ c}$APSP in directed unweighted graphs (computing counts mod $c$). We complement our hardness results with new algorithms. We improve the known algorithms for APSLP in directed graphs with small integer weights and for approximate APSP with sublinear additive error in directed unweighted graphs. Our algorithm for approximate APSP with sublinear additive error is optimal, when viewed as a reduction to Min-Plus product. We also give new algorithms for variants of #APSP in unweighted graphs, as well as a near-optimal $ ilde{O}(n^3)$-time algorithm for the original #APSP problem in unweighted graphs. Our techniques also lead to a simpler alternative for the original APSP problem in undirected graphs with small integer weights.

研究动机与目标

• 理解在具有小整数权重的有向图中 APSP 的固有计算难度，特别是持续存在的 n².⁵ 阻塞瓶颈。
• 在有向无权 APSP 与涉及小权重或结构约束的多个变体之间建立细粒度归约。
• 为关键变体（如具有次线性加法误差的近似 APSP 和无权图中的 #APSP）开发改进算法。
• 证明除非有向无权图中当前的 APSP 运行时间得到改进，否则多个相关问题也需 Ω(n².⁵²⁸) 时间。
• 为 #APSP 和介数中心性提供一个近乎最优的 ˜O(n³)-时间算法，优于先前的 ˜O(n⁴) 上界。

提出的方法

• 从有向无权 APSP 到矩形 Min-Plus 乘积问题 M⋆(n, nρ, n | n¹⁻ᵣho) 建立细粒度归约，证明在次多项式时间改进下具有等价性。
• 使用递归分解和在顶点集 Rℓ 上的动态规划，通过有界条目矩阵的 Min-Plus 乘积计算最短路径。
• 应用见证恢复技术，从 Min-Plus 乘积计算中重建实际的最短路径。
• 通过将问题归约为 Min-Plus 乘积，为具有次线性加法误差的近似 APSP 开发新算法，实现在该模型下的最优性。
• 通过结合计数与矩阵乘积技术，为无权图中的 #APSP 提供一个近乎最优的 ˜O(n³)-时间算法。
• 将结果扩展到具有近似对称权重的有向图，实现 ˜O(c₀s nω) 时间的 s-近似对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 有向 APSP 的 Ω(n².⁵) 运行时间瓶颈是源于固有复杂性，还是可通过新算法洞察克服？
• RQ2 在细粒度归约下，cRed-APSP、#≤cAPSP 和具有加法误差的近似 APSP 等变体是否与有向无权 APSP 计算等价？
• RQ3 能否通过归约将当前有向无权图中 APSP 的 n².⁵²⁸ 下界扩展到其他问题？
• RQ4 无权图中 #APSP 的最优时间复杂度是多少？即使路径计数呈指数级增长，是否也能在 ˜O(n³) 时间内实现？
• RQ5 已知的 ˜O(nω) 时间的无向 APSP 算法能否通过新框架被简化或重新推导？

主要发现

• 有向无权 APSP 与计算 M⋆(n, nρ, n | n¹⁻ᵣho) 细粒度等价，其中 ρ 满足 ω(1, ρ, 1) = 1 + 2ρ，建立了与矩形 Min-Plus 乘积的紧密联系。
• 除非有向无权图中当前 O(n².⁵²⁹) 的 APSP 运行时间得到改进，否则 {0,1}-权无向图中的 APSLP 问题和无权有向图中的 #mod cAPSP 问题也需 Ω(n².⁵²⁸) 时间。
• 提出一个最优的 ˜O(n³)-时间算法用于无权图中的 #APSP，即使路径计数呈指数级增长，也优于先前的 ˜O(n⁴) 上界。
• 该算法同样可为介数中心性提供 ˜O(n³)-时间解法，优于先前的 ˜O(n⁴) 运行时间。
• 为具有次线性加法误差的近似 APSP 提供一个新的 ˜O(n³)-时间算法，当视为对 Min-Plus 乘积的归约时，该算法是最优的。
• 为无向 APSP 提供了一种更简单的替代算法，适用于小整数权重，基于新框架。