[论文解读] Aliasing error of the exp$(β\sqrt{1-z^2})$ kernel in the nonuniform fast Fourier transform

Alex H. Barnett|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 34被引用 13

一句话总结

本文严格分析了非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）中半圆指数（ES）核的混叠误差，证明其在核宽 $ w $ 上实现指数收敛，渐近匹配凯泽-贝塞尔核与掠线球面波函数核（PSWF）的最优速率。分析采用最陡下降法、围道积分及加权sinc和，对类型1与2 NUFFT中的误差进行界定，确立了ES核作为高性能替代方案，其在信号处理与成像应用中实现光谱精度时具有近乎最优的准确性。

ABSTRACT

The most popular algorithm for the nonuniform fast Fourier transform (NUFFT) uses the dilation of a kernel $ϕ$ to spread (or interpolate) between given nonuniform points and a uniform upsampled grid, combined with an FFT and diagonal scaling (deconvolution) in frequency space. The high performance of the recent FINUFFT library is in part due to its use of a new "exponential of semicircle" kernel $ϕ(z)=e^{β\sqrt{1-z^2}}$, for $z\in[-1,1]$, zero otherwise, whose Fourier transform $\hatϕ$ is unknown analytically. We place this kernel on a rigorous footing by proving an aliasing error estimate which bounds the error of the one-dimensional NUFFT of types 1 and 2 in exact arithmetic. Asymptotically in the kernel width measured in upsampled grid points, the error is shown to decrease with an exponential rate arbitrarily close to that of the popular Kaiser--Bessel kernel. This requires controlling a conditionally-convergent sum over the tails of $\hatϕ$, using steepest descent, other classical estimates on contour integrals, and a phased sinc sum. We also draw new connections between the above kernel, Kaiser--Bessel, and prolate spheroidal wavefunctions of order zero, which all appear to share an optimal exponential convergence rate.

研究动机与目标

• 严格界定在非均匀快速傅里叶变换（NUFFT）中使用半圆指数（ES）核时的混叠误差。
• 与凯泽-贝塞尔核及掠线球面波函数（PSWF）等成熟核函数相比，确立ES核的渐近收敛速率。
• 通过证明其误差随核宽 $ w $ 指数衰减，为FINUFFT库中ES核的高性能表现提供理论基础。
• 探讨ES核、凯泽-贝塞尔核与PSWF之间的联系，尤其关注其傅里叶尾部行为与收敛速率。
• 探究指数形式 $ e^{\beta\sqrt{1-z^2}} $ 是否构成NUFFT中所有最优核函数的共同特征。

提出的方法

• 推导类型1与2 NUFFT中使用ES核 $ \phi_{\text{ES},\beta}(z) = e^{\beta(\sqrt{1-z^2}-1)} $（$ |z| \leq 1 $）时的混叠误差界。
• 应用最陡下降法与经典围道积分估计，控制核的傅里叶变换尾部所构成的条件收敛级数。
• 利用加权sinc和分析核的傅里叶变换在关键频率区域的行为。
• 将ES核的傅里叶变换尾部衰减速率与凯泽-贝塞尔核及PSWF核进行比较，证明其在指数衰减速率上渐近等价。
• 采用严格的渐近分析，证明误差以 $ \mathcal{O}(e^{-c w}) $ 衰减，其中 $ c = \pi\sqrt{1 - 1/\sigma} $，与 $ \sigma > 1 $ 时的最优速率一致。
• 通过渐近展开建立ES核与PSWF之间的联系，包括高斯极限与WKBJ近似。

实验结果

研究问题

• RQ1 NUFFT中的半圆指数核是否实现与理论最优值相当的混叠误差衰减速率？
• RQ2 ES核的傅里叶变换尾部与凯泽-贝塞尔核及掠线球面波函数核相比如何？
• RQ3 能否通过最陡下降法与围道积分方法严格界定ES核的混叠误差？
• RQ4 指数形式 $ e^{\beta\sqrt{1-z^2}} $ 是否为所有在NUFFT中实现最优 $ \mathcal{O}(e^{-cw}) $ 收敛速率的核函数所共有？
• RQ5 尽管ES核、KB核与PSWF核的代数结构不同，但其性能在经验上为何如此相似？

主要发现

• ES核在NUFFT中的混叠误差随核宽 $ w $ 指数衰减，衰减速率 $ c = \pi\sqrt{1 - 1/\sigma} $，与凯泽-贝塞尔核及PSWF核的最优速率一致。
• 通过将最陡下降法与围道积分技术应用于核的傅里叶变换尾部的条件收敛级数，建立了误差界。
• ES核的傅里叶变换表现出 $ e^{-\beta} $ 量级的尾部衰减，与凯泽-贝塞尔核及PSWF核一致，解释了其高性能表现。
• 本文证明ES核可实现渐近收敛速率无限接近理论最优值，与推测的NUFFT核最佳可能速率一致。
• 经验比较表明，混合形式 $ \psi_{\text{SlepH}}(z) \propto I_0(\beta\sqrt{1-z^2})(1 + \sqrt{1-z^2})^{-1/2} $ 对PSWF的逼近精度高于凯泽-贝塞尔核，相对误差 $ < 0.2/\beta $。
• PSWF的傅里叶变换在频带 $ [-\beta, \beta] $ 外的 $ L^2 $-范数衰减为 $ \sim 4\sqrt{\pi\beta} e^{-2\beta} $，确认其以 $ e^{-\beta} $ 速率指数衰减，与ES核及KB核一致。