[论文解读] All 3-manifolds are the boundary of exotic 4-manifolds

John B. Etnyre, Hyunki Min+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 35被引用 1

一句话总结

本文证明了每个紧致的、定向的3-流形都是一个具有无限多个不同微分结构的单连通4-流形的边界。此外，它表明每个可填充的接触3-流形都是一个具有无限多个具有凹边界之辛结构的单连通4-流形的边界，从而确立了接触3-流形存在无限多个异样辛帽。

ABSTRACT

In this note we show that any closed, oriented 3-manifold is the boundary of a simply connected 4-manifold that admits infinitely many distinct smooth structures. We also show that any fillable contact 3-manifold is the boundary of a simply connected 4-manifolds that admits infinitely many distinct smooth structures each of which supports a symplectic structure with concave boundary, that is there are infinitely many exotic caps for any contact manifold.

研究动机与目标

• 确立每个紧致的、定向的3-流形都是一个具有无限多个不同微分结构的单连通4-流形的边界。
• 证明每个可填充的接触3-流形都是一个具有无限多个辛结构的单连通4-流形的边界，且每个辛结构均具有凹边界。
• 利用光滑4维流形拓扑技术构造接触3-流形的异样辛帽。
• 扩展对具有指定3维边界之4-流形的光滑结构与辛结构的理解。

提出的方法

• 利用规范理论技术，并利用某些4-流形存在无限多个微分结构的事实。
• 应用辛填充理论与接触结构理论，构造具有凹辛边界之4-流形。
• 利用某些4-流形存在无限多个异样微分结构的事实，借助唐纳森与弗里德曼在4-流形拓扑方面的结果。
• 将所需的4-流形构造为具有受控拓扑的5-流形的边界，以确保单连通性。
• 依赖于通过将接触3-流形实现为具有凹结构的辛4-流形边界而存在的辛帽的存在性。
• 利用任何紧致的、定向的3-流形均可通过胞腔复形构造实现为单连通4-流形边界的事实。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个紧致的、定向的3-流形是否都能实现为一个具有无限多个不同微分结构的单连通4-流形的边界？
• RQ2 所有可填充的接触3-流形是否都边界于一个具有无限多个辛结构的单连通4-流形，且每个辛结构均具有凹边界？
• RQ3 3-流形的拓扑与它所边界4-流形上异样微分结构的存在性之间有何关系？
• RQ4 辛填充与凹边界结构如何约束边界为接触3-流形的4-流形的光滑类型？
• RQ5 异样帽的构造能否推广至接触3-流形的特定类别之外？

主要发现

• 每个紧致的、定向的3-流形都是一个具有无限多个不同微分结构的单连通4-流形的边界。
• 每个可填充的接触3-流形都是一个具有无限多个不同辛结构的单连通4-流形的边界，且每个辛结构均具有凹边界。
• 作为边界的4-流形支持与凹边界条件相容的辛形式。
• 边界4-流形上存在无限多个微分结构的事实意味着存在异样微分结构。
• 该构造为接触3-流形提供了异样辛帽的显式例子。
• 结果将异样4-流形构造的范围扩展至所有紧致的、定向的3-流形以及所有可填充的接触3-流形。