[论文解读] All bipartitions of arbitrary Dicke states

George Moreno, Fernando Parisio|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2018

Quantum Information and Cryptography被引用 3

一句话总结

该论文利用Dicke态的置换对称性，推导出所有可能的Dicke态二分划的Schmidt分解的闭式解析表达式。它计算了所有此类二分划的纠缠熵，并揭示了W态在量子比特数增加时保持恒定纠缠，而多体纠缠潜力则以 $ n^{-1/2} $ 的速率衰减。该研究进一步提出了一类纠缠判据，并展示了在检测纠缠时，随机误差与系统性误差之间存在权衡关系。

ABSTRACT

By exploiting the permutation symmetry of Dick states, we derive closed analytical expressions of Schmidt decompositions for {\it all} possible bipartitions of a system described by this kind of state. This allows us to exhaustively compute the entropy of entanglement of the bipartitions and, thus, compare the their entanglement extent. We also address the multipartite character of Dicke states by calculating the purity of balanced bipartitions to determine the potential of multipartite entanglement (the average purity). In particular, we found that the entanglement of $W$ states remains constant as the number of qubits is increased. As a final application we define a family of multipartite entanglement witnesses and compute their resistance against random and systematic imperfections. It is shown that in some circumstances, for a fixed white noise fraction, the entanglement becomes detectable only if one {\it increases} the amount of systematic imperfection in the state.

研究动机与目标

• 利用Dicke态的置换对称性，系统分析任意Dicke态所有可能二分划的纠缠结构。
• 计算每个二分划的纠缠熵，并比较其纠缠程度。
• 通过平衡二分划的平均保真度量化多体纠缠的潜力。
• 设计并评估一类纠缠判据，以检验其在实验中对随机和系统性误差的鲁棒性。

提出的方法

• 利用Dicke态的置换对称性，作者推导出一种递归分解，将任意Dicke态表示为单个量子比特与其余 $(n-1)$ 个量子比特的叠加态。
• 该递归结构为任意 $(1|n-1)$ 二分划提供了Schmidt分解，从而可通过约化密度矩阵的冯诺依曼熵直接计算纠缠熵。
• 通过有限归纳法证明的组合恒等式，将该方法推广至任意二分划，从而实现对所有 $\binom{n}{k}$ 个对称二分划的解析处理。
• 通过平衡二分划的约化密度矩阵的平均保真度量化多体纠缠潜力。
• 基于态的对称性构造一类纠缠判据，并测量其对白噪声和系统性误差的抵抗能力。
• 数值与解析分析揭示了一个非单调的检测阈值：在固定白噪声下，只有当系统性误差增加时，纠缠才能恢复可检测性。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意Dicke态的所有可能二分划的纠缠熵是多少？其随系统尺寸和激发数如何变化？
• RQ2 当量子比特数增加时，W态（$k=1$）的纠缠是否保持恒定？与其他Dicke态相比有何差异？
• RQ3 以平衡二分划的平均保真度衡量的多体纠缠潜力，如何随量子比特数变化？
• RQ4 在使用纠缠判据检测纠缠时，随机误差与系统性制备误差之间存在何种权衡？
• RQ5 所提出的纠缠判据是否可在实验中实现？在现实噪声模型下其鲁棒性如何？

主要发现

• Dicke态 $|D_n^{(k)}\rangle$ 的 $(1|n-1)$ 二分划的纠缠熵为 $ S(n,k,1) = -\left(\frac{n-k}{n}\right)\log\left(\frac{n-k}{n}\right) - \left(\frac{k}{n}\right)\log\left(\frac{k}{n}\right) $，当 $n$ 为偶数且 $k = n/2$ 时达到最大值。
• 对于W态（$k=1$），纠缠熵保持恒定：$ S(n,1,1) = -\frac{n-1}{n}\log\left(\frac{n-1}{n}\right) $，当 $n \to \infty$ 时趋近于1 ebit，表明存在持续的两体纠缠。
• 以平衡二分划的平均保真度衡量的多体纠缠潜力，对大 $n$ 时以 $n^{-1/2}$ 速率衰减，显著高于 $2^{-n/2}$ 的代数最小值。
• 构造了一类特别适合实验实现的纠缠判据，尤其是类似于Bourennane等人（2004）提出的形态。
• 发现一个反直觉的权衡关系：在固定白噪声比例下，只有当系统性误差增加时，纠缠才能重新变得可检测，表明其鲁棒性具有非单调性。
• 通过广义分解恒等式的有限归纳法证明，成功实现了所有二分划的Schmidt分解的解析推导，证实了Dicke态的递归结构。