[论文解读] All couplings localization for quasiperiodic operators with Lipschitz monotone potentials

Svetlana Jitomirskaya, Ilya Kachkovskiy|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 26被引用 7

一句话总结

该论文在无需迪奥ophantine频率条件的前提下，于所有耦合强度下建立了具有Lipschitz单调势的准周期算子的安德森局域化。通过分析由连分数分母定义的区间上的谱限制，并利用本征值排斥与格林函数衰减，作者证明了均匀指数局域化，以及李雅普诺夫指数和态密度积分的连续性。

ABSTRACT

We establish Anderson localization for quasiperiodic operator families of the form $$ (H(x)ψ)(m)=ψ(m+1)+ψ(m-1)+λv(x+mα)ψ(m) $$ for all $λ>0$ and all Diophantine $α$, provided that $v$ is a $1$-periodic function satisfying a Lipschitz monotonicity condition on $[0,1)$. The localization is uniform on any energy interval on which Lyapunov exponent is bounded from below.

研究动机与目标

• 在所有耦合强度下建立具有Lipschitz单调势的准周期算子的安德森局域化。
• 消除通常在非微扰局域化结果中所需的迪奥ophantine频率条件。
• 在李雅普诺夫指数均匀为正的能量区间上，证明均匀局域化。
• 在给定条件下，证明态密度积分绝对连续，且李雅普诺夫指数（几乎）Lipschitz连续。
• 提供首个在极限周期模型之外的均匀局域化准周期算子族的显式例子。

提出的方法

• 分析算子 $ H_{\alpha,\lambda}(x) \psi(m) = \psi(m+1) + \psi(m-1) + \lambda v(x + m\alpha)\psi(m) $ 在 $ \ell^2(\mathbb{Z}) $ 上的作用，其中 $ v $ 是1-周期的，并满足Lipschitz单调性条件。
• 将算子限制在区间 $[0, q_k - 1]$ 上，其中 $ q_k $ 是频率 $ \alpha $ 的连分数逼近的分母，以利用在 $ x \mapsto x + \alpha $ 下的谱不变性。
• 利用本征值关于 $ x $ 的局部单调性及有限秩扰动论证，推导出本征值的线性排斥，从而获得态密度积分的Lipschitz界。
• 通过 [27] 的方法应用格林函数衰减估计，利用 $ (\gamma(E) - \delta, q_k) $-正则性与递归区间分解，控制本征函数的衰减。
• 通过结合格林函数矩阵元的界与展开式中项数的指数衰减，建立本征函数在李雅普诺夫速率下的指数衰减。
• 利用 $ \gamma(E) > 0 $ 几乎处处成立且在 $ \lambda $ 较大时被均匀从下方有界这一事实，确保在李雅普诺夫指数为正的区间上实现均匀局域化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在所有耦合强度下，对具有不连续但单调势的准周期算子建立安德森局域化？
• RQ2 在无迪奥ophantine频率条件的情况下，是否可能实现准周期算子的均匀局域化？
• RQ3 在势函数满足Lipschitz单调性条件下，态密度积分是否仍绝对连续，李雅普诺夫指数是否连续？
• RQ4 能否利用单调性导致的无共振特性，实现无需解析性的非微扰局域化？
• RQ5 是否存在一类超越随机或解析模型的准周期算子，其表现出均匀局域化？

主要发现

• 对所有 $ \lambda > 0 $ 和几乎所有的迪奥ophantine $ \alpha $，安德森局域化成立，本征函数以李雅普诺夫速率指数衰减。
• 在李雅普诺夫指数均匀从下方有界的任何能量区间上，局域化是均匀的，这是准周期情形下的一个新特征。
• 在给定势函数条件下，态密度积分绝对连续，且李雅普诺夫指数（几乎）Lipschitz连续。
• 当 $ \lambda $ 较大时，李雅普诺夫指数被一个仅依赖于势函数 $ v $ 的常数均匀从下方有界，且该常数与 $ \alpha $ 和 $ \lambda $ 无关。
• 该结果无需对频率 $ \alpha $ 做任何迪奥ophantine或解析性假设，扩展了以往非微扰方法的适用范围。
• 本工作首次提供了极限周期模型之外的均匀局域化准周期族的显式例子，其中马里兰模型是特例。