[论文解读] All orders structure and efficient computation of linearly reducible elliptic Feynman integrals

Martijn Hidding, Francesco Moriello|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Cryptography and Residue Arithmetic被引用 11

一句话总结

本文引入了线性可约椭圆费曼积分，可通过关于维数调节器 𝜖 的任意阶展开，系统地求解，方法为对多 polylogarithmic 被积函数（内层 polylogarithmic 部分，IPP）进行一维积分。本文证明，IPP 可通过分部积分和 𝜖-形式的典范微分方程，表示为椭圆多重 polylogarithm（eMPLs）。该方法可实现物理区域中两体和三体函数的完整解析解。

ABSTRACT

We define linearly reducible elliptic Feynman integrals, and we show that they can be algorithmically solved up to arbitrary order of the dimensional regulator in terms of a 1-dimensional integral over a polylogarithmic integrand, which we call the inner polylogarithmic part (IPP). The solution is obtained by direct integration of the Feynman parametric representation. When the IPP depends on one elliptic curve (and no other algebraic functions), this class of Feynman integrals can be algorithmically solved in terms of elliptic multiple polylogarithms (eMPLs) by using integration by parts identities. We then elaborate on the differential equations method. Specifically, we show that the IPP can be mapped to a generalized integral topology satisfying a set of differential equations in $\\epsilon$-form. In the examples we consider the canonical differential equations can be directly solved in terms of eMPLs up to arbitrary order of the dimensional regulator. The remaining 1-dimensional integral may be performed to express such integrals completely in terms of eMPLs. We apply these methods to solve two- and three-points integrals in terms of eMPLs. We analytically continue these integrals to the physical region by using their 1-dimensional integral representation.

研究动机与目标

• 定义并表征一类费曼积分——线性可约椭圆积分——其可超越多重 polylogarithm 的已知特殊函数，实现算法求解。
• 开发一种系统方法，将此类积分计算至维数调节器 𝜖 的任意阶。
• 证明此类积分的内层 polylogarithmic 部分（IPP）可映射为 𝜖-形式的典范微分方程。
• 通过直接积分和 IBP 恒等式，证明完整解可表示为椭圆多重 polylogarithms（eMPLs）。
• 利用 IPP 的一维积分表示，实现向物理区域的解析延拓。

提出的方法

• 将线性可约椭圆费曼积分定义为：其参数表示允许以 polylogarithm 顺序积分的积分。
• 使用费曼参数表示和直接积分，将积分约化为对内层 polylogarithmic 部分（IPP）的一维积分。
• 应用分部积分（IBP）恒等式，将 IPP 映射为 𝜖-形式的典范微分方程系统。
• 利用 𝜖-形式微分方程，将 IPP 解为椭圆多重 polylogarithms（eMPLs），直至 𝜖 的任意阶。
• 完成剩余的一维积分，将完整费曼积分完全表示为 eMPLs 的形式。
• 利用 IPP 的一维积分表示，将结果解析延拓至物理区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一类椭圆费曼积分，使其在维数调节器 𝜖 的任意阶展开下，可通过已知特殊函数实现算法求解？
• RQ2 此类积分的内层 polylogarithmic 部分（IPP）是否可通过 IBP 和典范微分方程表示为椭圆多重 polylogarithms（eMPLs）？
• RQ3 IPP 的典范微分方程是否可表示为 eMPLs，从而在 𝜖-展开中获得完整解？
• RQ4 是否可利用 IPP 的一维积分表示，将结果解析延拓至物理区域？
• RQ5 线性可约类中的两体和三体积分是否可获得完全以 eMPLs 表示的解析解？

主要发现

• 本文将线性可约椭圆费曼积分定义为：其参数表示允许通过直接积分约化为对 polylogarithmic 被积函数（IPP）的一维积分。
• 通过分部积分恒等式和 𝜖-形式的典范微分方程，IPP 可表示为椭圆多重 polylogarithms（eMPLs）。
• IPP 的微分方程被证明为 𝜖-形式，从而可直接以 eMPLs 表示，直至 𝜖 的任意阶。
• 对 IPP 的剩余一维积分可被完成，从而得到以 eMPLs 表示的费曼积分的完整解析表达式。
• 该方法成功计算了以 eMPLs 表示的两体和三体积分，且提供了主积分及其 IPP 的显式表达式。
• 通过 IPP 的一维积分表示，实现了向物理区域的解析延拓，证实了该方法在现象学相关动量构型中的适用性。