[论文解读] All Pairs Shortest Paths using Bridging Sets and Rectangular Matrix Multiplication

Uri Zwick|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 7

一句话总结

该论文提出了两种针对有向图中所有点对最短路径（APSP）问题的新算法，利用桥接集合和长方形矩阵乘法。第一种算法通过利用长方形矩阵乘法的指数μ，对小整数权重实现了Õ(n^{2.575})的时间复杂度；第二种算法针对非负实数权重，提供了(1+ε)-近似距离，时间复杂度为Õ((n^ω/ε) log W)，显著优于先前的界限。

ABSTRACT

We present two new algorithms for solving the {\em All Pairs Shortest Paths} (APSP) problem for weighted directed graphs. Both algorithms use fast matrix multiplication algorithms. The first algorithm solves the APSP problem for weighted directed graphs in which the edge weights are integers of small absolute value in $\Ot(n^{2+μ})$ time, where $μ$ satisfies the equation $ω(1,μ,1)=1+2μ$ and $ω(1,μ,1)$ is the exponent of the multiplication of an $n imes n^μ$ matrix by an $n^μ imes n$ matrix. Currently, the best available bounds on $ω(1,μ,1)$, obtained by Coppersmith, imply that $μ<0.575$. The running time of our algorithm is therefore $O(n^{2.575})$. Our algorithm improves on the $\Ot(n^{(3+ω)/2})$ time algorithm, where $ω=ω(1,1,1)<2.376$ is the usual exponent of matrix multiplication, obtained by Alon, Galil and Margalit, whose running time is only known to be $O(n^{2.688})$. The second algorithm solves the APSP problem {\em almost} exactly for directed graphs with {\em arbitrary} non-negative real weights. The algorithm runs in $\Ot((n^ω/\eps)\log (W/\eps))$ time, where $\eps>0$ is an error parameter and W is the largest edge weight in the graph, after the edge weights are scaled so that the smallest non-zero edge weight in the graph is 1. It returns estimates of all the distances in the graph with a stretch of at most $1+\eps$. Corresponding paths can also be found efficiently.

研究动机与目标

• 为有向图中具有小整数权重或非负实数权重的All-Pairs Shortest Paths（APSP）问题设计更高效的算法。
• 利用快速长方形矩阵乘法技术，将APSP的渐近时间复杂度提升至标准O(n^3)以下。
• 通过利用长方形矩阵乘法的指数μ，实现小整数权重下APSP的亚立方时间复杂度。
• 为非负实数权重图设计一种高效的(1+ε)-近似算法，保证距离估计的(1+ε)拉伸因子。
• 探索是否能够实现Õ(n^ω)时间复杂度的有向APSP，与无向图中的已知结果相匹配。

提出的方法

• 第一种算法利用桥接集合和长方形矩阵乘法计算距离乘积，将指数降低至2+μ，其中μ满足ω(1,μ,1)=1+2μ。
• 对n×n^μ和n^μ×n矩阵应用快速矩阵乘法，利用Coppersmith工作所得的最优已知边界μ<0.575。
• 第二种算法采用缩放与舍入技术，将实数权重转换为整数，从而可使用近似距离乘积计算。
• 采用一种近似距离乘积算法（approx-dist-prod），使用分辨率R=O((log n)/ε)以控制log n轮迭代中的误差累积。
• 该算法通过迭代使用近似距离乘积对距离矩阵进行平方运算，在ℓ轮迭代后保持拉伸因子为(1+4/R)^ℓ。
• 维护见证矩阵，以在距离估计后高效重构近似最短路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用快速长方形矩阵乘法，在亚立方时间内求解具有小整数权重的有向图APSP问题？
• RQ2 对于具有小整数权重的APSP，可达到的最佳时间复杂度是多少？其与长方形矩阵乘法指数μ的关系如何？
• RQ3 能否设计一种高效的(1+ε)-近似APSP算法，用于非负实数权重图，并利用快速矩阵乘法技术？
• RQ4 是否可能实现有向APSP的Õ(n^ω)时间复杂度，与无向图中的已知结果一致？
• RQ5 对于整数权重在[−M,M]范围内的APSP问题，M的最大值是多少，仍可实现亚立方时间复杂度？

主要发现

• 第一种算法以Õ(n^{2.575})的时间复杂度求解小整数权重的APSP，优于Alon、Galil和Margalit先前得到的Õ(n^{2.688})界限。
• Õ(n^{2.575})的时间复杂度来源于对满足ω(1,μ,1)=1+2μ的指数μ的最优已知边界μ<0.575。
• 第二种算法以Õ((n^ω/ε) log W)的时间复杂度计算(1+ε)-近似最短路径，其中W为缩放后的最大边权。
• 在⌈log₂n⌉轮近似距离乘积计算后，算法保持的拉伸因子不超过(1+ε)。
• 使用分辨率R=O((log n)/ε)可确保在对数轮迭代中累积误差保持在(1+ε)范围内。
• 该方法通过使用见证矩阵支持高效重构近似最短路径，使算法不仅限于距离估计。