[论文解读] Almost all primes satisfy the Atkin-Serre conjecture and are not extremal

Ayla Gafni, Jesse Thorner+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文在非 CM 的全纯尖点新形式（偶权 $k \geq 2$）背景下，无条件地证明了 100% 的素数满足 Atkin-Serre 猜想，而仅有 0% 的素数是极值的（即达到最大可能的 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$）。证明依赖于带有显式误差项的有效 Sato-Tate 定理，该定理由 Newton 和 Thorne 的对称幂 L-函数的自守性以及 Thorner 的有效界推导而来，从而得到了 Atkin-Serre 下界和极值性两个例外集合的有效上界。

ABSTRACT

Let $f(z)=\sum_{n=1}^{\infty} a_f(n)e^{2\pi i n z}$ be a non-CM holomorphic cupsidal newform of trivial nebentypus and even integral level $k\geq 2$. Deligne's proof of the Weil conjectures shows that $|a_f(p)|\leq 2p^{\frac{k-1}{2}}$ for all primes $p$. We prove for 100% of primes $p$ that $2p^{\frac{k-1}{2}}\frac{\log\log p}{\sqrt{\log p}}<|a_f(p)|<\lfloor 2p^{\frac{k-1}{2}} floor$. Our proof gives an effective upper bound for the size of the exceptional set. The lower bound shows that the Atkin-Serre conjecture is satisfied for 100% of primes, and the upper bound shows that $|a_f(p)|$ is as large as possible (i.e., $p$ is extremal for $f$) for 0% of primes. Our proofs use the effective form of the Sato-Tate conjecture proved by the second author, which relies on the recent proof of the automorphy of the symmetric powers of $f$ due to Newton and Thorne.

研究动机与目标

• 在非 CM 全纯尖点新形式（偶权 $k \geq 2$）的背景下，无条件地建立 Atkin-Serre 猜想对几乎所有素数成立。
• 提供极值素数（即满足 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$ 的素数）数量的有效上界，表明此类素数的密度为零。
• 利用基于新形式对称幂自守性的有效 Sato-Tate 定理（带有显式误差项），将条件结果强化为无条件的有效界。
• 扩展并改进先前关于傅里叶系数例外集大小的研究，超越了 Murty、Murty 和 Saradha 的工作。

提出的方法

• 使用 Thorner 建立的有效 Sato-Tate 定理（带有显式误差项），其依赖于 Newton 和 Thorne 对新形式对称幂 L-函数自守性的证明。
• 在 $L^2([−1,1], \mu_{ST})$ 中使用切比雪夫多项式正交基 $\{U_n(t)\}$ 来逼近 Sato-Tate 测度下区间的特征函数。
• 利用部分求和与指数和估计，对满足 $n \ll \sqrt{\log x / \log(kq \log x)}$ 的情形，有界地估计和式 $\left| \sum_{x < p \leq 2x} U_n(\cos \theta_p) \right|$，并保留有效误差项。
• 将这些界应用于估计满足 $|\cos \theta_p|$ 落于围绕零点的收缩区间（Atkin-Serre 情形）或接近 $\pm 1$（极值性情形）的素数 $p$ 的数量。
• 利用泰勒展开估计小区间的 Sato-Tate 测度，并结合素数定理，将 $\pi(2x) - \pi(x) \sim x / \log x$ 关联起来。
• 通过结合有效 Sato-Tate 定理的误差项、多项式逼近和求和界，推导出例外集的有效上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非 CM 新形式（偶权 $k \geq 2$），100% 的素数是否满足 Atkin-Serre 猜想？
• RQ2 是否存在 $|a_f(p)|$ 达到 Atkin-Serre 猜想所预测最小值的素数 $p$ 的有效上界？
• RQ3 是否存在仅有限多个极值素数（即满足 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$ 的素数）？
• RQ4 有效 Sato-Tate 定理是否可用于推导新形式傅里叶系数例外集大小的无条件、有效界？
• RQ5 在何种数量上，$|a_f(p)|$ 达到最大的素数的密度是多少？

主要发现

• 对于任意非 CM 的全纯尖点新形式（偶权 $k \geq 2$），满足 $|a_f(p)| \leq 2p^{(k-1)/2} \cdot \frac{\log \log p}{\sqrt{\log p}}$ 的素数集合的密度为零，且对 $x \geq 3$ 有有效上界 $c_1 \frac{x \log(kq \log x)}{(\log x)^{3/2}}$。
• Atkin-Serre 猜想 $|a_f(p)| \geq c_{\varepsilon,f} p^{(k-3)/2 - \varepsilon}$ 对 100% 的素数无条件成立，且例外集大小具有有效上界。
• 在 $x < p \leq 2x$ 范围内，满足 $|a_f(p)| = \lfloor 2p^{(k-1)/2} \rfloor$ 的极值素数数量至多为 $c_3 \frac{x (\log(kq \log x))^2}{(\log x)^2}$（$x \geq 16$），表明此类素数的密度为零。
• Atkin-Serre 下界例外集被有效控制，其界明确依赖于 $k$、$q$ 和 $x$，且衰减快于 $\log x$ 的任意幂次。
• 该证明表明极值素数极为稀少，其计数增长慢于任何正幂次的 $x$，从而确认仅有 0% 的素数是极值的。
• 结果为无条件且有效，依赖于对称幂的自守性（Newton–Thorne）和有效 Sato-Tate 定理（Thorner），并给出了显式常数 $c_1, c_3 > 0$。