[论文解读] Almost automorphic funtions on time scales and almost automorphic solutions to shunting inhibitory cellular neural networks on time scales

Yongkun Li, Bing Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文引入了一类新的准周期时标概念，并在这些时标上定义了几乎自动函数，建立了在时标上具有时变时滞的突触抑制型细胞神经网络的几乎自动解的存在性与全局指数稳定性的条件。主要贡献在于提出了一套新颖的框架，统一并拓展了微分方程与差分方程的结果，证明了在指数分离条件下几乎自动解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we first propose a new concept of almost periodic time scales, a new definition of almost automorphic functions on almost periodic time scales, and study some their basic properties. Then we prove a result ensuring the existence of an almost automorphic solution for both the linear nonhomogeneous dynamic equation on time scales and its associated homogeneous equation, assuming that the associated homogeneous equation admits an exponential dichotomy. Finally, as an application of our results, we establish the existence and global exponential stability of almost automorphic solutions to a class of shunting inhibitory cellular neural networks with time-varying delays on time scales. Our results about the shunting inhibitory cellular neural network with time-varying delays on time scales are new even for the both cases of differential equations(the time scale $\mathbb{T}=\mathbb{R})$ and difference equations(the time scale $\mathbb{T}=\mathbb{Z})$.

研究动机与目标

• 提出一种新的、更宽松的准周期时标概念，使其超越周期结构的限制。
• 在这些新的准周期时标上定义几乎自动函数，并研究其基本性质。
• 在齐次方程具有指数分离性条件下，建立线性非齐次动态方程在时标上几乎自动解的存在性条件。
• 将理论结果应用于证明在时标上具有时变时滞的突触抑制型细胞神经网络中几乎自动解的存在性与全局指数稳定性。
• 通过将结果推广至周期性以外的更广泛时标类，解决先前研究的局限性。

提出的方法

• 基于位移集 Π 提出一种新的准周期时标定义，允许非周期但具有结构的时标。
• 通过平移序列的极限定义这些时标上的几乎自动函数，推广经典几乎自造型。
• 将关联齐次方程的指数分离性作为关键假设，以确保有界且稳定的解。
• 利用参数变分公式构造不动点论证，证明非齐次方程几乎自动解的存在性。
• 将理论框架应用于一类在时标上具有时变时滞的突触抑制型细胞神经网络。
• 通过显式矩阵与函数界验证条件 (H1)–(H3)，并应用定理 5.1 与 5.2 确认解的存在性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种新的、更一般的准周期时标概念，使其包含非周期但具有结构的时标？
• RQ2 如何在这些新的准周期时标上严格定义几乎自动函数，其关键分析性质是什么？
• RQ3 当其齐次对应方程具有指数分离性时，线性非齐次动态方程在时标上在何种条件下存在几乎自动解？
• RQ4 能否将几乎自动解理论应用于时标上具有时变时滞的突触抑制型细胞神经网络？
• RQ5 此类神经网络的几乎自动解是否具有全局指数稳定性？

主要发现

• 本文成功定义了一类比周期时标更广泛的准周期时标，使其具备更广泛的应用潜力。
• 提出了一种在时标上定义几乎自动函数的新方法，该方法推广了现有定义，允许非周期但具有重复行为的函数。
• 在齐次方程具有指数分离性的假设下，证明了线性非齐次动态方程在时标上几乎自动解的存在性。
• 对于具有时变时滞的突触抑制型细胞神经网络，证明了在集合 {φ ∈ ℬ : ||φ||_ℬ ≤ ρ} 中存在唯一一个几乎自动解，其中 ρ = 1。
• 通过验证条件 (H1)–(H3) 的数值界，证明了几乎自动解具有全局指数稳定性。
• 即使在微分方程（𝕋 = ℝ）和差分方程（𝕋 = ℤ）的特殊情况下，结果也是全新的，拓展了该领域先前的研究。