[论文解读] Almost Automorphically and Almost Periodically Forced Circle Flows of Almost Periodic Parabolic Equations on S^1

Wenxian Shen, Yi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文通過扭曲积半流研究了圆周 $S^1$ 上几乎周期抛物方程的动力学，聚焦于中心空间维数受限条件下极小集的结构。研究结果表明，极小集要么是挠形 $H(f)$ 的几乎 1-覆盖，要么可嵌入到几乎殆自守/周期圆周流中，特别针对双曲、线性稳定及对称情形获得了关键结论。

ABSTRACT

We consider the skew-product semiflow which is generated by a scalar reaction-diffusion equation \begin{equation*} u_{t}=u_{xx}+f(t,u,u_{x}),\,\,t>0,\,x\in S^{1}=\mathbb{R}/2π\mathbb{Z}, \end{equation*} where $f$ is uniformly almost periodic in $t$. The structure of the minimal set $M$ is thoroughly investigated under the assumption that the center space $V^c(M)$ associated with $M$ is no more than $2$-dimensional. Such situation naturally occurs while, for instance, $M$ is hyperbolic or uniquely ergodic. It is shown in this paper that $M$ is a $1$-cover of the hull $H(f)$ provided that $M$ is hyperbolic (equivalently, ${ m dim}V^c(M)=0$). If ${ m dim}V^c(M)=1$ (resp. ${ m dim}V^c(M)=2$ with ${ m dim}V^u(M)$ being odd), then either $M$ is an almost $1$-cover of $H(f)$ and topologically conjugate to a minimal flow in $\mathbb{R} imes H(f)$; or $M$ can be (resp. residually) embedded into an almost periodically (resp. almost automorphically) forced circle-flow $S^1 imes H(f)$. When $f(t,u,u_x)=f(t,u,-u_x)$ (which includes the case $f=f(t,u)$), it is proved that any minimal set $M$ is an almost $1$-cover of $H(f)$. In particular, any hyperbolic minimal set $M$ is a $1$-cover of $H(f)$. Furthermore, if ${ m dim}V^c(M)=1$, then $M$ is either a $1$-cover of $H(f)$ or is topologically conjugate to a minimal flow in $\mathbb{R} imes H(f)$. For the general spatially-dependent nonlinearity $f=f(t,x,u,u_{x})$, we show that any stable or linearly stable minimal invariant set $M$ is residually embedded into $\mathbb{R}^2 imes H(f)$.

研究动机与目标

• 刻画 $S^1$ 上具有几乎周期时间依赖的标量反应-扩散方程的极小集 $M$ 的结构。
• 确定在何种条件下 $M$ 是 $H(f)$ 的几乎 1-覆盖，或可嵌入到几乎殆自守/周期圆周流中。
• 分析中心空间维数 $\dim V^c(M)$ 在决定 $M$ 的拓扑与动力结构中的作用。
• 在 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ 中建立稳定或线性稳定极小集的拓扑共轭与剩余嵌入结果。
• 将已知的 Poincaré-Bendixson 型结果推广至具有空间依赖性的非自治、几乎周期情形。

提出的方法

• 在 $X \times H(f)$ 上构造扭曲积半流 $\Pi^t$，其中 $X$ 为分数次幂空间，$H(f)$ 为几乎周期强迫项 $f$ 的挠形。
• 以挠形 $H(f)$ 作为基空间，配备紧拓扑，通过时间平移生成极小且无游移的流。
• 应用线性化动力学与 Lyapunov 指数理论分析稳定性，特别证明了线性稳定 $M$ 满足 $\bar{\lambda}_M \leq 0$。
• 利用点值映射 $\chi(v,g) = (v(x_0), v_x(x_0), g)$ 将 $M \cap p^{-1}(Y_0)$ 嵌入 $\mathbb{R}^2 \times Y_0$，其中 $Y_0 \subset H(f)$ 为剩余集。
• 通过 $\chi$ 及其逆的单射性与连续性，建立 $M \cap p^{-1}(Y_0)$ 与 $\mathbb{R}^2 \times Y_0$ 上流的拓扑共轭。
• 利用比较原理与 Schauder 估计控制解的有界性与增长率，从而导出非正的 Lyapunov 指数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $S^1$ 上的几乎周期抛物方程，何时极小集 $M$ 是挠形 $H(f)$ 的几乎 1-覆盖？
• RQ2 中心空间 $V^c(M)$ 的维数如何影响 $M$ 的拓扑结构？
• RQ3 在何种条件下，极小集 $M$ 可嵌入到几乎殆自守或几乎周期圆周流 $S^1 \times H(f)$ 中？
• RQ4 当 $f$ 具有对称性时，即 $f(t,x,u,u_x) = f(t,x,u,-u_x)$，$M$ 的动力结构如何？
• RQ5 稳定或线性稳定的极小集是否可剩余嵌入到 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ 中？这对其动力学意味着什么？

主要发现

• 若 $\dim V^c(M) = 0$（即 $M$ 为双曲），则 $M$ 是 $H(f)$ 的 1-覆盖。
• 若 $\dim V^c(M) = 1$，则 $M$ 要么是 $H(f)$ 的几乎 1-覆盖，要么与 $\mathbb{R} \times H(f)$ 中的极小流拓扑共轭。
• 若 $\dim V^c(M) = 2$ 且 $\dim V^u(M)$ 为奇数，则 $M$ 要么是 $H(f)$ 的几乎 1-覆盖，要么可剩余嵌入到几乎殆自守强迫的圆周流 $S^1 \times H(f)$ 中。
• 对于对称非线性项（$f(t,x,u,u_x) = f(t,x,u,-u_x)$），每个极小集 $M$ 都是 $H(f)$ 的几乎 1-覆盖，且双曲 $M$ 为 1-覆盖。
• 任意稳定或线性稳定的极小不变集 $M$ 均可剩余嵌入到 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ 中，且 $M$ 上的流与 $\mathbb{R}^2 \times H(f)$ 的子集上的流拓扑共轭。
• 在 $M$ 上的上 Lyapunov 指数非正，当 $\dim V^c(M) \leq 2$ 时，确认了线性稳定性。