[论文解读] Almost Cohen-Macaulay algebras in mixed characteristic via Fontaine rings

Kazuma Shimomoto|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文利用 Fontaine 环和 Witt 向量，在混合特征 $p>0$ 的完全局部域的绝对整闭包上构造了一个弱几乎 Cohen-Macaulay 代数。关键结果表明，参数系变为弱几乎正则，其中 $p$ 在赋值理论控制的意义下几乎正则，为 Monomial 猜想提供了新方法。

ABSTRACT

In the present paper, it is proved that any complete local domain of mixed characteristic has a weakly almost Cohen-Macaulay algebra in the sense that some system of parameters is a weakly almost regular sequence, which is a notion defined via a valuation. The central idea of this result originates from the main statement obtained by Heitmann to prove the Monomial Conjecture in dimension 3. In fact, A weakly almost Cohen-Macaulay algebra is constructed over the absolute integral closure of a complete local domain by applying the methods of Fontaine rings and Witt vectors. A connection of the main theorem with the Monomial Conjecture is also discussed.

研究动机与目标

• 在混合特征 $p>0$ 的完全局部域上建立弱几乎 Cohen-Macaulay 代数的存在性。
• 通过赋值理论的几乎正则性，提供一种新方法来处理 Monomial 猜想。
• 通过 Fontaine 环构造，将 Heitmann 的三维结果推广到更高维。
• 探索几乎正则性与绝对整闭包结构之间的联系。
• 研究在附加的分离性或赋值条件下，此类代数是否可映射到大 Cohen-Macaulay 代数。

提出的方法

• 利用与完全局部域 $R$ 的绝对整闭包 $R^+$ 关联的 Fontaine 环 $\mathbf{E}(R^+)$。
• 在 $\mathbf{E}(R^+)$ 上构造一个完美代数，然后将其提升到 Witt 向量环 $W(\mathbf{E}(R^+))$。
• 应用 Witt 向量理论，将完美代数提升到特征零情形，以便分析几乎正则性。
• 通过 $R^+$ 上的赋值 $v$ 定义弱几乎正则性，要求任意小赋值的元素可消去某些商理想。
• 通过 Fontaine 环将问题约化到正特征情形，利用完美代数与正则序列的已知结果。
• 利用完备代数 $\widehat{B}$ 的结构，证明 $\bigcap_{n>0}(p,x_2,\ldots,x_d)^n\widehat{B} = 0$，表明具有强分离性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 Fontaine 环和 Witt 向量，在混合特征的完全局部域上构造出弱几乎 Cohen-Macaulay 代数？
• RQ2 在该代数中，元素 $p$ 是否在赋值理论控制的意义下几乎正则？
• RQ3 该构造能否导致混合特征下 Monomial 猜想的证明？
• RQ4 条件 $v(p^\epsilon) > 0$ 对所有 $\epsilon > 0$ 是否足以保证 $p^\epsilon \notin (p,x_2,\ldots,x_d)B$？
• RQ5 在何种条件下，$B/{\mathfrak{m}}B$ 不为几乎零，从而确保代数不会平凡退化？

主要发现

• 本文构造了一个 $R^+$-代数 $B$，使得 $p,x_2,\ldots,x_d$ 为弱几乎正则，满足对所有 $i$ 和任意 $\epsilon > 0$，有 $v(b) < \epsilon$ 且 $b \cdot \frac{(x_1,\ldots,x_i)B :_B x_{i+1}}{(x_1,\ldots,x_i)B} = 0$。
• 理想 $(0:_B p)$ 被所有 $p^\epsilon$（$\epsilon > 0$）消去，表明 $p$ 在赋值理论意义下几乎正则。
• 代数 $B$ 满足 $(p,x_2,\ldots,x_d)B \neq B$，确保参数系不生成单位理想。
• 完备代数 $\widehat{B}$ 满足 $\bigcap_{n>0}(p,x_2,\ldots,x_d)^n\widehat{B} = 0$，表明具有强分离性。
• 该构造将 $\mathbf{E}(R^+)$ 上的完美代数提升至 Witt 向量环，同时保持所需的正则性性质。
• 推论 6.3 表明，若赋值 $v: B \to \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ 满足 $v(ab) = v(a)+v(b)$，$v(a+b) \geq \min\{v(a),v(b)\}$，且对非单位元满足 $v(b) > 0$，则 $B$ 可映射到一个大 Cohen-Macaulay 代数。