[论文解读] Almost commuting elements in compact Lie groups

Armand Borel, Robert Friedman+1 more|ArXiv.org|Jul 1, 1999

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用 18

一句话总结

本文对紧致、单连通李群中的几乎交换对与三元组进行分类，通过holonomy表示和Chern-Simons不变量聚焦其模空间。通过证明Witten的'顺时针对称性猜想'，表明Chern-Simons不变量在模空间中阶为$k$的分支与$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$中阶为$k$的点之间诱导出双射，尤其针对非循环$\langle C\rangle$的情形。该分类依赖于根系、Weyl群以及扩展Dynkin图的图自同构。

ABSTRACT

We describe the components of the moduli space of conjugacy classes of commuting pairs and triples of elements in a compact Lie group. This description is in terms of the extended Dynkin diagram of the simply connected cover, together with the coroot integers and the action of the fundamental group. In the case of three commuting elements, we compute Chern-Simons invariants associated to the corresponding flat bundles over the three-torus, and verify a conjecture of Witten which reveals a surprising symmetry involving the Chern-Simons invariants and the dimensions of the components of the moduli space.

研究动机与目标

• 通过holonomy表示对二维与三维环面主丛上的平坦联络的同构类进行分类。
• 通过群论与几何不变量表征紧致、单连通李群中几乎交换$N$-元组的性质。
• 证明Witten关于三维环面上平坦$G$-丛模空间的Chern-Simons不变量的'顺时针对称性猜想'。
• 建立模空间分支与Chern-Simons不变量模$\mathbb{Z}$的取值之间的对应关系。

提出的方法

• 利用holonomy表示将平坦丛分类转化为紧致半单群$K$的单连通覆叠$G$中几乎交换$N$-元组的分类。
• 应用$G$的扩展Dynkin图、$\pi_1(K)$的作用以及余根整数来表征模空间结构。
• 利用Weyl群$W(S,G)$与固定子空间上的根系分析中心化子与分支群。
• 利用群上同调与分支群计算研究$\pi_0(Z(x,y))$与$\pi_0(H^\sigma)$，其中$\sigma$为自同构。
• 通过平坦联络与曲率形式计算Chern-Simons不变量，将其与$c$-三元组和$C$-三元组结构关联。
• 应用上同调中的基本方程与同态$\delta$，将分支群与根系及广义Cartan矩阵联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致、单连通李群中，几乎交换$N$-元组在同时共轭下如何分类？
• RQ2 平坦$G$-丛在二维与三维环面上的模空间结构是怎样的？其与Chern-Simons不变量有何关联？
• RQ3 Chern-Simons不变量在方向反转与覆叠映射下如何行为？这对分支结构有何含义？
• RQ4 中心化子的分支群与根系相关的广义Cartan矩阵之间的确切关系为何？
• RQ5 群$G$的自同构群如何作用于秩为零的$c$-三元组与$C$-三元组空间？

主要发现

• Chern-Simons不变量在模空间${\cal T}_G(C)$中阶为$k$的分支与$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$中阶为$k$的点之间诱导出双射，其中每个正整数$k$整除4。
• 当$\langle C\rangle$为循环时，Chern-Simons不变量在阶为4的两个分支上取值为$\pm 1/4 \mod \mathbb{Z}$，且在对称分支上符号相反。
• $c_0$-三元组$\hat{\bf u} = (u,v,w^2)$位于$c_0$-三元组模空间的非平凡分支中，而$\hat{\bf x} = (x,y,z^2)$位于平凡分支中。
• 在方向反转下，Chern-Simons不变量满足$\mathrm{CS}(r^*\Gamma) \equiv -\mathrm{CS}(\Gamma) \mod \mathbb{Z}$，证实了时间反演下的对称性。
• $H^\sigma$的分支群通过同态$\delta$与受限根系的环面计算得出，其与$\mathrm{Tor}((\Lambda/Q^\vee_H)_\sigma)$相关联。
• 通过引理12.3.1与推论12.3.6、12.3.9的分支计数，以及推论12.4.4，完成了对非循环$\langle C\rangle$情形下Witten的顺时针对称性猜想的证明。