[论文解读] Almost contact B-metric manifolds as extensions of a 2-dimensional space-form

Hristo Manev|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文通过两种方法——锥构造与$S^1$-可解扩张——将二维Norden流形扩展为三维几乎接触B度量流形。在Ganchev-Mihova-Gribachev分类框架下对所得流形进行分类，表明其属于$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$类，并建立其为$\fancyscript{F}_4$-流形的充要条件：当且仅当基流形为Kähler-Norden流形时成立，同时推导出显式的曲率张量与Ricci张量关系式。

ABSTRACT

The object of investigations are almost contact B-metric manifolds which are derived as a product of a real line and a 2-dimensional manifold equipped with a complex structure and a Norden metric. There are used two different methods for generation of the B-metric on the product manifold. The constructed manifolds are characterised with respect to the Ganchev-Mihova-Gribachev classification and their basic curvature properties.

研究动机与目标

• 通过两种不同的几何方法——锥构造与$S^1$-可解扩张——将二维Norden流形扩展为三维几乎接触B度量流形。
• 在Ganchev-Mihova-Gribachev提出的11个基本类的几乎接触B度量结构框架下，对所得流形进行分类。
• 研究曲率性质，包括截面曲率、Ricci张量与数量曲率，及其与基流形几何的关系。
• 确定扩展流形属于特定类（特别是$\fancyscript{F}_4$类）的条件，并识别其成为$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$类的条件。
• 推导Lee形式、曲率分量与数量曲率的显式公式，其表达式以基流形的几何结构和扩展参数$t$为变量。

提出的方法

• 在乘积流形$S^1(N) = S^1 \times N$上构造几乎接触B度量结构，其中$N$为具有复结构$J$与Norden度量$h$的二维Norden流形。
• 应用两种不同的几何扩张：锥构造与$S^1$-可解扩张，每种方法通过特定的度量与几乎接触结构公式，在$S^1(N)$上定义不同的B度量$g$。
• 利用度量$g$的Levi-Civita联络$\nabla$，计算张量$F(x,y,z) = g((\nabla_x \theta)y, z)$，该张量依据Ganchev-Mihova-Gribachev分类对流形进行分类。
• 通过度量分量与曲率张量计算Lee形式$\theta$、$\theta^*$与$\rho$，并在$\fancyscript{F}$-基下给出显式表达式。
• 利用结构方程计算曲率分量$R_{ijk\bar{l}}$与截面曲率$k_{ij}$，其中特别关注$k_{12}$与$k_{13}=k_{23}=1$，其表达式依赖于基流形的曲率$k'$。
• 将Ricci张量$\rho$、其关联张量$\rho^*$，以及数量曲率$\tau$、$\tau^*$、$\tau^{**}$用$k'$与角度参数$t$表示，从而实现分类与曲率分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 作为二维Norden流形的$S^1$-可解扩张构造出的三维几乎接触B度量流形，在Ganchev-Mihova-Gribachev分类中属于哪一类？
• RQ2 在何种条件下，Norden流形的$S^1$-可解扩张会生成属于$\fancyscript{F}_4$类的流形？
• RQ3 扩展流形的曲率分量、截面曲率与Ricci张量如何依赖于基二维空间形式的曲率？
• RQ4 扩展流形的数量曲率$\tau$、$\tau^*$与$\tau^{**}$与基流形曲率$k'$之间存在何种关系？
• RQ5 在何种几何条件下，扩展流形为$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$型，或为$\fancyscript{F}_4$型？

主要发现

• 对二维Norden流形进行$S^1$-可解扩张后，得到的三维几乎接触B度量流形属于$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$类。
• 该流形属于$\fancyscript{F}_4$类当且仅当基流形$(N,J,h)$为Kähler-Norden流形，等价于Lee形式$\theta^*$为零及特定曲率条件成立。
• 在$\fancyscript{F}$-截面中，截面曲率为常数：$k_{13} = k_{23} = 1$，而$k_{12} = R_{1212}$依赖于$k'$与角度$t$。
• Ricci张量$\rho$为$\fancyscript{F}_1 \bigoplus \fancyscript{F}_4$型，当基流形为Kähler-Norden时，满足$\rho = k'\theta \bigotimes g + (2 - k'\theta)\theta \bigotimes \theta$，其中$\theta = \text{Re}(e^{2it})$。
• 数量曲率$\tau = 2(k'\theta + 1)$与$\tau^{**} = 2(k'\theta - 1)$，其中$\theta = \text{Re}(e^{2it}) = \text{Re}(\text{cis}(2t))$，明确显示出其对基曲率$k'$与扩展参数$t$的依赖关系。
• 当基流形为Kähler-Norden时，有$\tau^* = 0$且$\tau^{**} = \tau - 4$，且流形为$\fancyscript{F}_4$-型与$\fancyscript{F}_1$-型仅当$k' = 0$时成立，此时对应$\tau = 2$，$\tau^{**} = -2$。