[论文解读] Almost contact metric structures defined by an $N$-prolonged connection

Sergey V. Galaev|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文将 $N$-延拓联络引入为奇数维流形上近接触度量结构的 Sasaki 构造之推广。通过使用一个自同态 $N$ 延拓内蕴联络，其在分布 $D$ 上定义了一个新的近接触度量结构，并证明了存在唯一一个无挠 $N$-延拓度量联络。关键结果为：延拓结构是近 K-接触当且仅当原结构是 K-接触；是近正规当且仅当 $D$ 的 Schouten 曲率张量为零。

ABSTRACT

On a manifold with an almost contact metric structure $(φ,\vecξ,η,g,X,D)$ the notions of the interior and the $N$-prolonged connections are introduced. Using the $N$-prolonged connection, a new almost contact metric structure is defined on the distribution $D$. The properties of this structure are studied.

研究动机与目标

• 将 Sasaki 在切丛上构造黎曼度量的方法推广至具有近接触度量结构的奇数维流形。
• 通过 $N$-延拓联络在分布 $D$ 的全空间上定义一个新的近接触度量结构。
• 研究延拓结构的几何性质，特别是其近接触与 K-接触特性。
• 探讨延拓结构从基底结构继承正规性或近正规性的条件。
• 阐明 $N$-延拓联络与已知近接触度量流形上联络之间的关系。

提出的方法

• 引入 $N$-延拓联络的概念，作为向量丛 $(D, \to, X)$ 上的联络，由一个内蕴联络与一个自同态 $N: D \to D$ 定义。
• 通过 $\nabla^N_{\vec{X}}\vec{Y} = \nabla^B_{\vec{X}}\vec{Y} + \eta(\vec{X})N\vec{Y}$ 定义 $N$-联络，其中 $\nabla^B$ 为 Bejancu 联络。
• 利用 $N$-延拓联络在 $D$ 上构造一个延拓的近接触度量结构，定义了几乎复结构 $J$、Reeb 向量场 $\vec{u}$ 以及度量 $\tilde{g}$。
• 在适配坐标下表示延拓度量 $\tilde{g}$，其中 $\tilde{g}(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = g_{ab}$，$\tilde{g}(\partial_{n+a}, \partial_{n+b}) = g_{ab}$，交叉项为零。
• 以 Schouten 曲率张量与自同态 $N$ 表示 $J$ 的 Nijenhuis 张量，得到 $N_J(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = -R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}$。
• 利用李导数 $L_{\vec{u}}\tilde{g}$ 分析 K-接触性质，证明 $L_{\vec{u}}\tilde{g} = 0$ 当且仅当 $\partial_n g_{ab} = 0$，$N^c_b = 0$，且 $P^c_{bd} = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$N$-延拓联络会生成一个无挠的度量联络？
• RQ2 何时 $D$ 上的延拓近接触度量结构是近 K-接触的？
• RQ3 延拓结构的近正规性与基底分布 $D$ 的曲率之间有何关系？
• RQ4 延拓几乎复结构 $J$ 的 Nijenhuis 张量如何与 $D$ 的 Schouten 曲率张量相关？
• RQ5 流形 $D$ 是否可等距嵌入到具有标准 Sasaki 度量的切丛 $TX$ 中？

主要发现

• 给定一个内蕴联络与一个自同态 $N: D \to D$，$N$-延拓联络存在且唯一，为无挠度量联络。
• 延拓的近接触度量结构是近 K-接触当且仅当原结构是 K-接触，这要求 $\partial_n g_{ab} = 0$，$N^c_b = 0$，且 $P^c_{bd} = 0$。
• 延拓结构是近正规当且仅当 $D$ 的 Schouten 曲率张量为零，这由 Nijenhuis 张量 $N_J$ 的消失所表明。
• 延拓结构的基本形式 $\tilde{\omega} = d\lambda$ 满足 $\tilde{\omega}_{ab} = \omega_{ab}$，因此 $\text{rk}\tilde{\omega} = \frac{n-1}{2}$，表明其非接触。
• 延拓结构不能等距嵌入到具有标准 Sasaki 度量的 Sasaki 流形 $TX$ 中，这由 $L_{\vec{u}}\tilde{g}$ 的非零分量所证明。
• 一般情况下，$J$ 的 Nijenhuis 张量非零，其表达式为 $N_J(\vec{\epsilon}_a, \vec{\epsilon}_b) = -R^e_{abc}x^{n+c}\partial_{n+e}$，表明该结构不可积，除非曲率为零。