[论文解读] Almost Einstein and Poincare-Einstein manifolds in Riemannian signature

A. Rod Gover|ArXiv.org|Mar 25, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文引入了近乎爱因斯坦度量和庞加莱-爱因斯坦流形作为爱因斯坦度量的共形不变推广，其中光滑函数 $ s $ 满足一个共形不变的超定偏微分方程。关键结果是：对于具有非空尺度奇点集 $ \Sigma $ 的奇维标量负几乎爱因斯坦流形，$ \Sigma $ 的内在几何是全阶 Ricci-平坦 的费弗尔曼-格拉厄姆度量，且外在与边界 Weyl 张量满足关系 $ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^\Sigma $，从而将外在与边界共形结构联系起来。

ABSTRACT

An almost Einstein manifold satisfies equations which are a slight weakening of the Einstein equations; Einstein metrics, Poincare-Einstein metrics, and compactifications of certain Ricci-flat asymptotically locally Euclidean structures are special cases. The governing equation is a conformally invariant overdetermined PDE on a function. Away from the zeros of this the almost Einstein structure is Einstein, while the zero set gives a scale singularity set which may be viewed as a conformal infinity for the Einstein metric. In this article we give a classification of the possible scale singularity spaces and derive geometric results which explicitly relate the intrinsic conformal geometry of these to the conformal structure of the ambient almost Einstein manifold. Classes of examples are constructed. A compatible generalisation of the constant scalar curvature condition is also developed. This includes almost Einstein as a special case, and when its curvature is suitably negative, is closely linked to the notion of an asymptotically hyperbolic structure.

研究动机与目标

• 分类几乎爱因斯坦函数 $ s $ 为零处的尺度奇点集 $ \Sigma $ 的可能几何结构。
• 发展一种共形理论，将 $ \Sigma $ 的内在几何与外在几乎爱因斯坦结构联系起来。
• 通过新方程 $ S(g,s) = \text{常数} $ 推广常标量曲率条件，并应用于渐近双曲与 ALE 结构。
• 证明对于奇维标量负几乎爱因斯坦流形，奇点空间 $ \Sigma $ 继承一个形式光滑且 Ricci-平坦 的费弗尔曼-格拉厄姆度量。
• 推导外在与边界 Weyl 张量之间的精确关系：$ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $。

提出的方法

• 通过共形不变的超定偏微分方程定义几乎爱因斯坦流形：$ A(g,s) = \text{trace-free}(\nabla^2 s + sP) = 0 $，其中 $ P $ 为施陶森张量。
• 利用解 $ s $ 构造共形紧化 $ g^o = s^{-2}g $，其在 $ s \neq 0 $ 处为爱因斯坦度量，且 $ \Sigma = \{s=0\} $ 为共形无穷远边界。
• 应用拖带微分几何与外在度量技术分析尺度奇点集 $ \Sigma $ 的几何，尤其在奇维情形。
• 在外部空间 $ \tilde{M} $ 上构造一个齐次函数 $ \sigma $，使得 $ \Sigma $ 为其零点集，并利用平行 1-形式 $ \boldsymbol{I} $ 定义全测地超曲面 $ \boldsymbol{\Sigma} $。
• 证明 $ \boldsymbol{\Sigma} $ 上的诱导度量 $ \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{\Sigma}} $ 是 $ (\Sigma, [g_\Sigma]) $ 的费弗尔曼-格拉厄姆度量，且 $ \boldsymbol{\Sigma} $ 全阶 Ricci-平坦。
• 通过外在与边界几何的曲率限制推导 Weyl 张量关系 $ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在几乎爱因斯坦流形中，尺度奇点集 $ \Sigma $ 的可能内在几何结构是什么？
• RQ2 奇点空间 $ \Sigma $ 的共形几何如何与外在几乎爱因斯坦结构相关联？
• RQ3 常标量曲率条件能否以一种包含几乎爱因斯坦与渐近双曲结构的方式加以推广？
• RQ4 在何种条件下，奇点空间 $ \Sigma $ 会继承一个 Ricci-平坦 的费弗尔曼-格拉厄姆度量？
• RQ5 外在 Weyl 张量 $ W $ 与 $ \Sigma $ 上的边界 Weyl 张量 $ W^\Sigma $ 之间的精确关系是什么？

主要发现

• 对于具有非空 $ \Sigma $ 的奇维标量负几乎爱因斯坦流形，奇点空间 $ \Sigma $ 携带一个形式光滑且全阶 Ricci-平坦 的费弗尔曼-格拉厄姆度量。
• 外在超曲面 $ \boldsymbol{\Sigma} $ 上的诱导度量 $ \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{\Sigma}} $ 是全测地的，且与 $ \Sigma $ 上度量丛的典范度量一致。
• $ \boldsymbol{\Sigma} $ 的内在 Ricci 曲率全阶为零，意味着 $ \boldsymbol{\operatorname{Ric}}^{\boldsymbol{\Sigma}} = 0 $。
• Weyl 张量满足关系 $ (d-5)W|_{\Sigma} = (d-4)W^{\Sigma} $，对所有 $ d \geq 3 $ 成立，但 $ d=4 $ 时因维数特异性障碍而失效。
• 当 $ d=5 $ 时，由于 $ [g_\Sigma] $ 的 Bach 平坦性，有 $ W^\Sigma = 0 $，但 $ W|_\Sigma $ 非零，对应于外在曲率限制。
• 在 $ d=3 $ 维时，$ \boldsymbol{R} $ 与 $ \boldsymbol{R}^\Sigma $ 均恒为零，因此 Weyl 关系平凡成立。