[论文解读] Almost Envy-Free Allocations with Connected Bundles

Vittorio Bilò, Ioannis Caragiannis+6 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Law, Economics, and Judicial Systems被引用 52

一句话总结

本文研究在路径结构上对不可分物品进行公平分配的问题，其中每位代理人必须获得一个连通的物品包。通过离散化的移动刀具和Sperner引理技术，证明了在最多四名代理人的情况下存在对一个物品公平（EF1）的分配；对于五名或更多代理人，则存在对两个物品公平（EF2）的分配。当所有代理人的估值相同时，本文提出了一种多项式时间算法来计算EF1分配。

ABSTRACT

We study the existence of allocations of indivisible goods that are envy-free up to one good (EF1), under the additional constraint that each bundle needs to be connected in an underlying item graph G. When the items are arranged in a path, we show that EF1 allocations are guaranteed to exist for arbitrary monotonic utility functions over bundles, provided that either there are at most four agents, or there are any number of agents but they all have identical utility functions. Our existence proofs are based on classical arguments from the divisible cake-cutting setting, and involve discrete analogues of cut-and-choose, of Stromquist's moving-knife protocol, and of the Su-Simmons argument based on Sperner's lemma. Sperner's lemma can also be used to show that on a path, an EF2 allocation exists for any number of agents. Except for the results using Sperner's lemma, all of our procedures can be implemented by efficient algorithms. Our positive results for paths imply the existence of connected EF1 or EF2 allocations whenever G is traceable, i.e., contains a Hamiltonian path. For the case of two agents, we completely characterize the class of graphs G that guarantee the existence of EF1 allocations as the class of graphs whose biconnected components are arranged in a path. This class is strictly larger than the class of traceable graphs; one can check in linear time whether a graph belongs to this class, and if so return an EF1 allocation.

研究动机与目标

• 在不可分物品分配中，证明在连通性约束下存在对一个物品公平（EF1）分配的理论存在性。
• 将蛋糕分割中的公平概念（如移动刀具和Sperner引理）扩展到离散且连通的设定中。
• 刻画能保证两名代理人获得EF1分配的图结构，识别出双连通分量按路径排列的图为必要且充分条件。
• 为相同估值的代理人开发多项式时间算法，以计算EF1分配。
• 探讨在连通公平分配中计算复杂性和策略抗性方面的局限性。

提出的方法

• 对两名和三名代理人，使用Stromquist移动刀具协议的离散类比，实现EF1分配。
• 通过将连通划分的单纯形进行三角剖分，并应用Sperner引理，证明四名代理人存在EF1分配。
• 在高阶代理人设定中，采用受Sperner引理启发的路径追踪算法，实现EF2分配。
• 为两名代理人的EF1协议引入“不规则连接”（lumpy ties）概念，即代理人通过信号表示其物品包在至多一个物品的差异下相等。
• 通过优化平等福利并重新分配外层物品，开发出在相同估值下计算EF1分配的多项式时间算法。
• 使用禁止子式刻画方法，基于双连通分量构成路径的结构，识别出所有能保证两名代理人获得EF1分配的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 在路径上，对于四名或更多代理人，是否存在具有连通物品包的EF1分配？
• RQ2 是否可以使用连续公平分割协议（如移动刀具、Sperner引理）的离散版本，在不可分设定中构造出EF1分配？
• RQ3 哪些图能保证两名代理人获得具有连通物品包的EF1分配？
• RQ4 当代理人具有相同估值且物品位于路径上时，是否存在多项式时间算法来计算EF1分配？
• RQ5 在不可分设定中，是否存在能实现连通且EF1分配的策略抗性机制？

主要发现

• 在路径上，对最多四名代理人，通过离散移动刀具和Sperner引理技术，证明了连通EF1分配的存在性。
• 对于五名或更多代理人，在路径上存在EF2分配，该结果通过Sperner引理证明，强化了先前的研究成果。
• 当所有代理人具有相同估值时，可通过多项式时间算法在O(mn)时间内计算出EF1分配。
• 能保证两名代理人获得EF1分配的图类，恰好由其双连通分量按路径排列的图构成，且该性质可在线性时间内验证。
• 对于连通分配，即使在两名代理人和路径上五件物品的情况下，也不存在策略抗性的EF1机制。
• 在路径上，对五名或更多代理人是否存在EF1分配，仍是开放问题。