[论文解读] Almost free modules and Mittag--Leffler conditions

Dolors Herbera, Jan Trlifaj|ArXiv.org|Oct 22, 2009

Rings, Modules, and Algebras参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文证明了平坦 Mittag–Leffler 模与 ℵ₁-投影模完全一致，解决了无限维代数几何中的一个关键结构性问题。此外，本文进一步证明了在非右完美环上，平坦 Mittag–Leffler 模的类不是可构造的，从而排除了使用该类在无界拟相干层链复形范畴上构造 Quillen 模型范畴结构的可能性——回答了 Drinfeld 提出的问题。

ABSTRACT

Drinfeld recently suggested to replace projective modules by the flat Mittag--Leffler ones in the definition of an infinite dimensional vector bundle on a scheme $X$. Two questions arise: (1) What is the structure of the class $\mathcal D$ of all flat Mittag--Leffler modules over a general ring? (2) Can flat Mittag--Leffler modules be used to build a Quillen model category structure on the category of all chain complexes of quasi--coherent sheaves on $X$? We answer (1) by showing that a module $M$ is flat Mittag--Leffler, if and only if $M$ is $\aleph_1$--projective in the sense of Eklof and Mekler. We use this to characterize the rings such that $\mathcal D$ is closed under products, and relate the classes of all Mittag--Leffler, strict Mittag--Leffler, and separable modules. Then we prove that the class $\mathcal D$ is not deconstructible for any non--right perfect ring. So unlike the classes of all projective and flat modules, the class $\mathcal D$ does not admit the homotopy theory tools developed recently by Hovey . This gives a negative answer to (2).

研究动机与目标

• 确定一般环上平坦 Mittag–Leffler 模的结构性质，特别是其与 ℵ₁-投影性的关系。
• 研究平坦 Mittag–Leffler 模的类是否可在概形的无界拟相干层链复形范畴上构造 Quillen 模型范畴结构。
• 厘清可构造类、Kaplansky 类与平坦 Mittag–Leffler 模类之间的关系。
• 刻画平坦 Mittag–Leffler 模类对积封闭的环的特征。
• 通过模型范畴方法，解决在导范畴计算中使用平坦 Mittag–Leffler 模的同伦理论可行性问题。

提出的方法

• 通过范畴论与集合论方法，建立平坦 Mittag–Leffler 模与 ℵ₁-投影模之间的等价关系。
• 利用张量积函子重新解释 ℵ₁-投影模，从而为 Mittag–Leffler 模理论开辟新途径。
• 应用 Eklof 与 Mekler 关于 ℵ₁-投影模的结果，分析平坦 Mittag–Leffler 模类的闭包性质。
• 采用 Hovey 的模型范畴框架，通过小余挠对构造模型范畴，该方法要求类具备可构造性。
• 证明在任意非右完美环上，平坦 Mittag–Leffler 模类均不可构造，使用超限扩张与闭包论证。
• 将可构造性与更弱的 Kaplansky 类性质进行对比，表明后者在一般情况下不蕴含前者。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般环上，平坦 Mittag–Leffler 模类是否等价于 ℵ₁-投影模类？
• RQ2 平坦 Mittag–Leffler 模类是否可用于在概形的无界拟相干层链复形范畴上构造 Quillen 模型范畴结构？
• RQ3 在何种条件下，平坦 Mittag–Leffler 模类对积封闭？
• RQ4 平坦 Mittag–Leffler 模类是否可构造？其与模型范畴结构的存在性有何关联？
• RQ5 在平坦 Mittag–Leffler 模的语境下，Kaplansky 类与可构造类概念如何比较？

主要发现

• 一个模是平坦 Mittag–Leffler 模当且仅当它是 ℵ₁-投影模，建立了根本性的结构性等价。
• 在任意非右完美环上，平坦 Mittag–Leffler 模类均不可构造，这使得 Hovey 的模型范畴构造方法失效。
• 对于任意非右完美环，平坦 Mittag–Leffler 模类无法表示为任何模类的左正交类，因此不满足 ⁻(𝒟⁻¹) 的形式，对任意 𝒟。
• 当环是可数的，且平坦 Mittag–Leffler 模类对积封闭时，则所有平坦模类等于平坦 Mittag–Leffler 模类的右正交类的左正交类。
• 平坦 Mittag–Leffler 模类一般是一个 Kaplansky 类，但不是可构造类，表明 Kaplansky 类严格弱于可构造类。
• 当环不是右完美环时，平坦 Mittag–Leffler 模类对超限扩张封闭，但这并不蕴含可构造性，亦不保证模型范畴的适用性。