[论文解读] Almost Gorenstein Rees algebras of $p_g$-ideals, good ideals, and powers of the maximal ideals

Shirô Gotô, Naoyuki Matsuoka+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文证明了在科恩-麦克aul伊局部环中，某些理想 $I$ 的 Rees 代数 $Χ(I)$ 是几乎 Gorenstein 的，包括二维 Gorenstein 正常域中的 $p_g$-理想、极小多重性的几乎 Gorenstein 环中极大理想的幂，以及维度 $d \geq 2$ 的正则局部环中的 $\mathfrak{m}^{d-1}$。其关键贡献是一个逆定理结果：若 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 在 $\ell \geq 2$ 且 $d \geq 3$ 时是几乎 Gorenstein 的，则必有 $\ell = d-1$。

ABSTRACT

Let $(A,{\mathfrak m})$ be a Cohen-Macaulay local ring and let $I$ be an ideal of $A$. We prove that the Rees algebra ${\mathcal R}(I)$ is an almost Gorenstein ring in the following cases: (1) $(A,{\mathfrak m})$ is a two-dimensional excellent Gorenstein normal domain over an algebraically closed field $K \cong A/{\mathfrak m}$ and $I$ is a $p_g$-ideal; (2) $(A,{\mathfrak m})$ is a two-dimensional almost Gorenstein local ring having minimal multiplicity and $I={\mathfrak m}^{\ell}$ for all $\ell \ge 1$; (3) $(A,{\mathfrak m})$ is a regular local ring of dimension $d \ge 2$ and $I={\mathfrak m}^{d-1}$. Conversely, if ${\mathcal R}({\mathfrak m}^{\ell})$ is an almost Gorenstein graded ring for some $\ell \ge 2$ and $d \ge 3$, then $\ell=d-1$.

研究动机与目标

• 将已知结果从二维正则局部环中 $\mathfrak{m}$-列紧的整闭理想的 Rees 代数是几乎 Gorenstein 的结论，推广到更广泛的环与理想类别。
• 研究 $p_g$-理想、良理想及极大理想幂的 Rees 代数在何种条件下是几乎 Gorenstein 的分次环。
• 确定 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 为几乎 Gorenstein 的精确条件，特别是在正则局部环中的情形。
• 建立一个逆定理：若 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 在 $\ell \geq 2$ 且 $d \geq 3$ 时是几乎 Gorenstein 的，则必有 $\ell = d-1$。

提出的方法

• 利用分次几乎 Gorenstein 环的定义，通过短正合列 $0 \to R \to \mathrm{K}_R(-a) \to C \to 0$，其中 $C$ 是满足 $\mu_R(C) = \mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ 的 Ulrich 模。
• 应用在代数闭域上二维优秀 Gorenstein 正常局部环中 $p_g$-理想理论，证明 $\mathcal{R}(I)$ 是几乎 Gorenstein 的。
• 分析维度 $d \geq 2$ 的正则局部环中 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 的结构，显式计算 $a$-不变量与典范模。
• 运用涉及二项式系数的组合恒等式，比较 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 情形下 cokernel 的 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ 与生成元数 $\mu_R(C)$。
• 利用如下事实：在特定条件下，$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)_{\mathfrak{M}}$ 是几乎 Gorenstein 局部环当且仅当 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 是几乎 Gorenstein 分次环。
• 应用如下结果：在维度 $d \geq 3$ 的正则局部环中，$\mathcal{R}(Q)$ 是几乎 Gorenstein 分次当且仅当 $Q = \mathfrak{m}$，从而导出逆定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在代数闭域上二维优秀 Gorenstein 正常局部环中，$p_g$-理想 $I$ 的 Rees 代数 $\mathcal{R}(I)$ 在何种条件下是几乎 Gorenstein 的？
• RQ2 在二维极小多重性的几乎 Gorenstein 局部环中，$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 在 $\ell \geq 1$ 时何时是几乎 Gorenstein 的？
• RQ3 对于维度 $d \geq 2$ 的正则局部环 $(A,\mathfrak{m})$，$\mathcal{R}(\mathfrak{m}^{d-1})$ 何时是几乎 Gorenstein 分次环？
• RQ4 若 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 在 $\ell \geq 2$ 且 $d \geq 3$ 时是几乎 Gorenstein 的，则是否必有 $\ell = d - 1$？
• RQ5 在 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 的几乎 Gorenstein 序列中，Ulrich 模条件与 cokernel 的多重性之间有何关系？

主要发现

• 若 $(A,\mathfrak{m})$ 是代数闭域上二维优秀 Gorenstein 正常域，且 $I$ 是 $p_g$-理想，则 Rees 代数 $\mathcal{R}(I)$ 是几乎 Gorenstein 分次的。
• 若 $(A,\mathfrak{m})$ 是二维极小多重性的几乎 Gorenstein 局部环，且 $I = \mathfrak{m}^\ell$ 对于 $\ell \geq 1$，则 $\mathcal{R}(I)$ 是几乎 Gorenstein 分次的。
• 对于维度 $d \geq 2$ 的正则局部环 $(A,\mathfrak{m})$，Rees 代数 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^{d-1})$ 是几乎 Gorenstein 分次的。
• 反之，若 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 在 $\ell \geq 2$ 且 $d \geq 3$ 时是几乎 Gorenstein 分次的，则必有 $\ell = d - 1$。
• 当 $\ell \neq d - 1$ 时，Rees 代数 $\mathcal{R}(\mathfrak{m}^\ell)$ 不是几乎 Gorenstein 分次的，因为定义正合列中 cokernel $C$ 满足 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C) > \mu_\mathcal{R}(C)$。
• 在 $\ell \neq d - 1$ 情形下，cokernel $C$ 的多重性 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C)$ 满足 $\mathrm{e}_\mathfrak{M}^0(C) \geq \ell^d$，而生成元数 $\mu_\mathcal{R}(C) \leq b < \frac{d-1}{\ell}$，因此多重性超过生成元数。