[论文解读] Almost holomorphic embeddings in Grassmannians with applications to singular simplectic submanifolds

Vicente Muñoz, Francisco Presas+1 more|ArXiv.org|Feb 25, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 3

一句话总结

本文利用唐纳森的近似全纯技巧，将具有整数辛类的闭辛流形渐近全纯嵌入格拉斯曼流形。通过与乘积格拉斯曼流形中广义施伯特循环的交集，构造了奇异行列式子流形，得到了不辛同胚于奥罗克斯框架下的辛子流形，尤其在维度大于2时，从而将辛子流形构造的范围扩展至现有方法之外。

ABSTRACT

We use Donaldson's approximately holomorphic techniques to build embeddings of a closed symplectic manifold with symplectic form of integer class in the grassmannians Gr(r,N). We assure that these embeddings are asymptotically holomorphic in a precise sense. We study first the particular case of embeddings in the projective space $CP^N$ obtaining control on N. The main reason of our study is the construction of singular determinantal submanifolds as the intersection of the embedding with certain ``generalized Schur cycles'' defined on a product of grassmannians. It is shown that the symplectic type of these submanifolds is quite more general that the ones obtained by Auroux as zero sets of approximately holomorphic sections of ``very ample'' vector bundles.

研究动机与目标

• 将唐纳森的近似全纯技巧扩展至辛流形到格拉斯曼流形的嵌入，而不仅限于复射影空间。
• 通过渐近全纯嵌入与乘积格拉斯曼流形中广义施伯特循环的交集，构造奇异行列式子流形。
• 证明这些新子流形与奥罗克斯通过扭曲丛截面零点获得的子流形不同胚。
• 表明这些行列式子流形的辛不变量与奥罗克斯构造中的显著不同，尤其在维度大于2时。
• 在非可积设置下利用渐近全纯性，建立比以往已知更广泛的辛子流形类。

提出的方法

• 使用相容的几乎复结构和缩放度量 g_k = k g 定义 γ-渐近全纯嵌入。
• 通过构造满足 φ_k^*[ω_FS] = kω 的渐近全纯嵌入 φ_k: M → ℂP^{2n+1}，将科迪拉定理推广至辛范畴。
• 将构造扩展至格拉斯曼流形 Gr(r,N)，确保 φ_k^*𝒰 = E ⊗ L^⊗k，其中 E 为埃尔米特向量丛，L 为满足 c_1(L) = [ω/2π] 的线丛。
• 在乘积格拉斯曼流形上使用广义施伯特循环（‘广义舒尔循环’），将行列式子流形定义为嵌入像与这些循环的交集。
• 应用渐近分析控制曲率与导数范数行为，确保嵌入满足几乎复结构畸变的 O(k^{-1/2}) 衰减。
• 计算辛不变量如体积、第一陈类与第二陈类（n_1, n_11, n_2），与奥罗克斯的例子比较，证明非辛同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出辛流形到格拉斯曼流形的渐近全纯嵌入，使得其像与广义施伯特循环相交于具有可控辛类型的奇异行列式子流形？
• RQ2 这些行列式子流形的辛不变量是否与奥罗克斯方法中通过扭曲丛截面零点获得的子流形不同？
• RQ3 在复维数 n > 2 的哪些情况下，行列式子流形的辛不变量即使渐近意义下也与奥罗克斯的例子不匹配？
• RQ4 能否以与代数几何相容的方式定义奇异辛子流形的塞格雷类，从而实现拓扑分类？
• RQ5 通过渐近全纯行列式构造可获得的辛子流形类是否严格大于通过唐纳森–奥罗克斯方法获得的类？

主要发现

• 本文构造了渐近全纯嵌入 φ_k: M → Gr(r,N)，使得 φ_k^*𝒰 = E ⊗ L^⊗k，其中 N > n + r − 1 且 r(N − r) > 2n，确保对充分大的 k 存在这样的嵌入。
• 当复维数 n > 2 时，行列式子流形 D_1 的辛不变量——特别是比值 n_2(D_1)/n_11(D_1) = (n² + n − 4)/(2(n² − 5)) + O(k⁻¹)——与奥罗克斯子流形的比值 (n−1)/(2(n−2)) + O(k⁻¹) 不同，从而证明了非辛同胚。
• 当 r = 1, r_e = 2, r_f = n 时，D_1 的体积为 ((n−1)2^{n−2} + O(k⁻¹))vol_ω_k(M)，且 n_11(D_1) = (4(n−1)(n²−5)2^{n−2} + O(k⁻¹))vol_ω_k(M)，表明其具有不同的标度行为。
• 当 n > 2 时，不存在 k_1, k_2 使得行列式子流形 D_1^k_1 同痕于奥罗克斯型零点集 Z_k_2，因为其辛不变量在渐近意义下不匹配。
• 在维度 4 时，这些行列式子流形甚至与奥罗克斯的例子不同胚，因为比值 n_2/n_11 是拓扑不变量，且在两种构造中不同。
• 本文确立了通过渐近全纯行列式构造可获得的辛子流形类，严格大于通过扭曲丛截面获得的类，尤其在维度大于 2 时。