[论文解读] Almost Hyperbolic Groups with Almost Finitely Presented Subgroups

Robert Kropholler|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 6被引用 4

一句话总结

该论文构造了首例不含 $\mathbb{Z}^3$ 子群的 CAT(0) 群，其包含非有限生成的 $FP_2$ 型子群，并提供了型为 $F_{n-1}$ 但非 $F_n$ 的群，其无自由交换子群的秩不超过 $\lceil n/3 \rceil$，显著降低了已知的此类群中自由交换子群秩的下限。

ABSTRACT

We construct new examples of CAT(0) groups containing non finitely presented subgroups that are of type $FP_2$, these CAT(0) groups do not contain copies of $\mathbb{Z}^3$. We also give a construction of groups which are of type $F_n$ but not $F_{n+1}$ with no free abelian subgroups of rank greater than $\lceil\frac{n}{3} ceil$.

研究动机与目标

• 构造不含 $\mathbb{Z}^3$ 且包含 $FP_2$ 型但非有限生成的子群的 CAT(0) 群。
• 降低型为 $F_{n-1}$ 但非 $F_n$ 的群中自由交换子群的最小秩，改进已知要求 $\mathbb{Z}^{n-1}$ 的例子。
• 提供新的双曲型群（近乎双曲）的例子，其有限性性质受控且交换子群结构受限。
• 通过构造最大交换子群秩随 $n$ 亚线性增长的群，扩展对非正曲率群中有限性性质的理解。

提出的方法

• 利用与旗复形相关的右-angled Artin 群（RAAG）的分支覆盖，构造新的 CAT(0) 三维复形。
• 对顶点的链复形应用导出映射，以控制其万有覆叠的拓扑结构，并确保各层级集合的基本群保持非平凡。
• 在分支覆盖空间的万有覆叠中构造一系列层级集合 $X_I$，其中每个 $X_I$ 对应于 $\mathbb{R}$ 中的一个紧区间 $I$，并分析其基本群。
• 通过这些层级集合的直接极限构造一个可缩的 CAT(0) 空间，确保所得群根据构造方式为 $F_n$ 或 $FP_n$ 型。
• 利用 RAAG $G$ 到 $\mathbb{Z}$ 的映射 $g_*$ 的核继承由旗复形决定的有限性性质的事实，并通过修改复形来限制交换子群。
• 应用 Gromov 的链复形准则：当且仅当每个顶点的链复形是旗复形时，三维复形为 CAT(0)，并在此条件下确保该性质成立，同时限制平坦嵌入以控制交换子群的秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个不含 $\mathbb{Z}^3$ 的 CAT(0) 群，其包含 $FP_2$ 型但非有限生成的子群？
• RQ2 型为 $F_{n-1}$ 但非 $F_n$ 的群中，自由交换子群的最小可能秩是多少？
• RQ3 此类群中自由交换子群的最大秩是否可低于 $n-1$？
• RQ4 能否构造型为 $F_{n-1}$ 但非 $F_n$ 且无秩大于 $\lceil n/3 \rceil$ 的自由交换子群的群？
• RQ5 此类群能否作为不含 $\mathbb{Z}^3$ 的 CAT(0) 群的子群实现？

主要发现

• 该论文构造了一个 CAT(0) 群 $\pi_1(X)$，其不包含同构于 $\mathbb{Z}^3$ 的子群，但包含一个 $FP_2$ 型但非有限生成的子群。
• 该构造对每个 $n$ 均产生一个型为 $F_{n-1}$ 但非 $F_n$ 的群，且其无秩大于 $\lceil n/3 \rceil$ 的自由交换子群。
• 通过基于层级集合 $X_I$ 的基本群的反证法，证明了 RAAG $G$ 到 $\mathbb{Z}$ 的映射 $g_*$ 的核 $H = \ker(g_*)$ 不是有限生成的。
• 证明了对所有紧区间 $I \subset \mathbb{R}$，有 $\pi_1(X_I) \neq 1$，这表明核不是有限生成的。
• 即使添加有限多个 2-胞状后，层级集合 $X_I$ 的基本群仍保持非平凡，这与有限生成性矛盾。
• 该构造确保了所得空间的万有覆叠是 CAT(0) 且可缩的，且群作用为共(compact)，从而确认了所需的有限性性质。