[论文解读] Almost Kaehler deformation quantization

Alexander Karabegov, Martin Schlichenmaier|ArXiv.org|Feb 21, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文使用一种保留几乎凯勒结构的非平凡挠率自然仿射联络，在任意几乎凯勒流形上构建了费多索夫型形变量子化。关键结果是所得星积的特征类为 $[\varkappa] = -(1/2i)\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是几乎复结构的典范类，将先前在凯勒情形下的结果推广至非可积的几乎凯勒情形。

ABSTRACT

We use a natural affine connection with nontrivial torsion on an arbitrary almost-Kaehler manifold which respects the almost-Kaehler structure to construct a Fedosov-type deformation quantization on this manifold.

研究动机与目标

• 将费多索夫的形变量子化框架推广至几乎凯勒流形，这些流形由于几乎复结构不可积而不一定是凯勒流形。
• 使用一种保持几乎凯勒结构的非平凡挠率自然仿射联络，在任意几乎凯勒流形上构造微分星积。
• 计算所得星积的特征类，并表明其依赖于几乎复流形的典范类 $\varepsilon$。
• 将已知的凯勒流形结果（星积的特征类为 $(1/i\nu)[\omega] - (1/2i)\varepsilon$）推广至几乎凯勒情形。

提出的方法

• 使用亚诺联络——一种在几乎凯勒流形上自然存在的仿射联络，保持几乎复结构与度量，但当复结构不可积时具有非平凡挠率。
• 通过修改星积构造中的微分复形与曲率项，将费多索夫形式化推广至具有挠率的联络。
• 在韦尔代数丛上构造一个扭曲微分算子 $D'$，其包含亚诺联络的曲率与挠率。
• 通过修改曲率项 $r'$ 定义韦尔代数丛上的平坦联络 $\nabla'$，确保每个光滑函数 $f$ 存在唯一的平坦截面 $\tau'(f)$。
• 使用符号映射 $\tau'$ 定义星积 $f \ast g = \tau'(f) \cdot \tau'(g) \big|_{y=0}$，其中乘积通过韦尔乘法计算。
• 通过曲率项 $\varkappa = \delta(r'^{(3)}_1)$ 计算特征类，得到表达式 $[\varkappa] = -(1/2i)\varepsilon$。

实验结果

研究问题

• RQ1 费多索夫的形变量子化能否推广至缺乏可积复结构的几乎凯勒流形？
• RQ2 使用具有挠率的联络在几乎凯勒流形上构造的星积的特征类是什么？
• RQ3 几乎复结构的典范类 $\varepsilon$ 如何出现在星积的特征类中？
• RQ4 通过亚诺联络构造的星积在凯勒情形下是否退化为已知的分离变量星积？
• RQ5 特征类 $[\varkappa]$ 是否能完全用几乎凯勒结构的几何不变量表示？

主要发现

• 使用亚诺联络在几乎凯勒流形上构造的星积是微分且归一化的，满足 $C_1(f,g) = (i/2)\{f,g\}$。
• 星积的特征类为 $[\varkappa] = -(1/2i)\varepsilon$，其中 $\varepsilon$ 是几乎复结构的典范类。
• 曲率项 $\varkappa$ 计算为 $\varkappa = -i\Delta(R + \nabla r^{(2)})$，其中 $\Delta$ 表示 Hochschild 次数投影。
• 形式 $\lambda = \Delta(\nabla r^{(2)})$ 是恰当的，等于 $d\mu$，其中 $\mu = (1/6)J^t_s T^s_{tl} dx^l$ 为全局定义的一阶微分形式，确保特征类计算的一致性。
• 在凯勒情形下，星积与已知的分离变量星积一致，确认与先前结果的一致性。
• 典范类 $\varepsilon$ 定义为复化切丛的 $(1,0)$-子丛的一阶陈类，其在特征类中的出现推广了凯勒情形下的公式。