[论文解读] Almost Kahler forms on rational 4-manifolds

Tianjun Li, Weiyi Zhang|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 5

一句话总结

该论文通过将 Taubes 的子流形–电流–形式技术扩展至非可积几乎复几何中的 J- nef 0-亏格类，解决了理性 4-流形上 tamed 几乎复结构的 Donaldson 'tamed to compatible' 问题。证明了在 $S^2 \times S^2$ 和 $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$（$k \geq 2$）上，若存在 $k$ 个不相交的 $-1$-曲线，则所有 tamed 几乎复结构均为 almost Kähler，通过伪全纯子流形和 Taubes 电流建立了相容辛形式的存在性。

ABSTRACT

We study Nakai-Moishezon type question and Donaldson's "tamed to compatible" question for almost complex structures on rational four manifolds. By extending Taubes' subvarieties--current--form technique to $J-$nef genus $0$ classes, we give affirmative answers of these two questions for all tamed almost complex structures on $S^2$ bundles over $S^2$ as well as for many geometrically interesting tamed almost complex structures on other rational four manifolds, including the del Pezzo ones.

研究动机与目标

• 解决理性 4-流形上 tamed 几乎复结构的 Donaldson 'tamed to compatible' 问题。
• 将 Taubes 的子流形–电流–形式技术扩展至非可积几乎复几何中的 J- nef 0-亏格类。
• 在几何条件下，为 $S^2 \times S^2$ 和 $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$ 上的 tamed $J$ 建立相容辛形式（即 almost Kähler 结构）的存在性。
• 刻画 almost Kähler 锥并利用 Taubes 电流和伪全纯曲线模空间将其与 Kähler 锥和辛锥关联。

提出的方法

• 将 Taubes 的子流形–电流–形式技术扩展至非可积几乎复结构中的 J- nef 0-亏格类。
• 利用不可约伪全纯子流形的模空间，从大 J- nef 类中的线束构造弱 Taubes 电流。
• 应用隐函数定理，通过法向算子 $D_C$ 的核线性化模空间在子流形附近的行为。
• 利用局部面积界和指数映射分析小球内光滑曲线附近的子流形。
• 通过在 0-亏格子流形族上积分并将其正则化为 J-不变形式，构造 Taubes 电流。
• 通过 $\mathbb{CP}^2$ 的 Blowing-up 进行归纳，证明 $K$-球面锥 $\mathcal{S}_K^+$ 与 $K$-辛锥 $P_K$ 相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有 $S^2 \times S^2$ 上的 tamed 几乎复结构是否均为 almost Kähler？
• RQ2 在 $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$（$k \geq 2$）上，何种条件下 tamed 几乎复结构为 almost Kähler？
• RQ3 子流形–电流–形式技术能否扩展至非可积几乎复几何中的 J- nef 0-亏格类？
• RQ4 在大 J- nef 类 $e$ 中，0-亏格伪全纯子流形的模空间 $\mathcal{M}_e$ 是否同胚于 $\mathbb{CP}^{e\cdot e + 1}$？
• RQ5 在理性 4-流形上，$K$-球面锥 $\mathcal{S}_K^+$ 与 $K$-辛锥 $P_K$ 之间有何关系？

主要发现

• 所有 $S^2 \times S^2$ 上的 tamed 几乎复结构均为 almost Kähler，确认了该流形上 'tamed to compatible' 问题的成立。
• 对于 $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$（$k \geq 2$），若 tamed $J$ 允许 $k$ 个不相交的 $-1$-曲线，则其为 almost Kähler。
• 大 $J$-nef 类 $e$ 中 0-亏格子流形的模空间 $\mathcal{M}_e^{x,\Omega}$ 同胚于 $S^2$，表明线束的丰富性。
• $\mathcal{S}_K^+$ 等于 $P_K$ 在所有理性 4-流形上成立，包括 $k \leq 8$ 的 $\mathbb{CP}^2\#k\overline{\mathbb{CP}^2}$。
• 当 $k \geq 9$ 时，通过利用 $P_K$ 的边界面与 $M_{l-1}$ 的对应关系，使用归纳法证明 $\mathcal{S}_K^+ = P_K$。
• 从 0-亏格子流形构造 Taubes 电流，为 Kodaira 嵌入提供类比启发，暗示了非可积情形下全纯嵌入的类比。