[论文解读] Almost Kenmotsu metric as quasi Yamabe soliton

Dibakar Dey, Pradip Majhi|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了在潜在向量场 $V$ 与特征向量场 $\xi$ 点态共线的条件下，$(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 上的拟杨-哈贝解。结果表明，在此条件下，$V$ 必须是 $\xi$ 的常数倍，为严格无穷小接触变换，并满足 $\pounds_V h' = 0$。通过一个五维例子（$k = -2$，$\mu = -2$）验证了该解为收缩型拟杨-哈贝解，且 $\lambda = -41$。

ABSTRACT

In the present paper, we characterize a class of almost Kenmotsu manifolds admitting quasi Yamabe soliton. It is shown that if a $(k,μ)'$-almost Kenmotsu manifold admits a quasi Yamabe soliton $(g,V,λ,α)$ with $V$ pointwise collinear with $ξ$, then (1) $V$ is a constant multiple of $ξ$, (2) $V$ is a strict infinitesimal contact transformation and (3) $(£_V h')X = 0$ for any vector field $X$. Finally an illustrative example is presented to support the result.

研究动机与目标

• 研究在潜在向量场 $V$ 点态共线于特征向量场 $\xi$ 的条件下，$(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 上拟杨-哈贝解的特征。
• 研究此类解的几何与动力学性质，特别关注 $V$ 和张量场 $h'$ 的行为。
• 建立解结构导致 $h'$ 张量沿 $V$ 的 Lie 导数保持不变的条件。
• 在五维 $(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 上，提供一个收缩型拟杨-哈贝解的具体例子，其中 $k = -2$，$\mu = -2$。
• 根据 $V = b\xi$ 中常数 $b$ 的取值，验证解为收缩、平稳或膨胀型。

提出的方法

• 利用拟杨-哈贝解的定义：$\frac{1}{2}\pounds_V g = (r - \lambda)g + \alpha V^\# \otimes V^\#$，其中 $r$ 为标量曲率，$\lambda$ 为常数，$\alpha$ 为光滑函数。
• 假设 $V = b\xi$，且 $b$ 为常数，将问题简化为沿 $\xi$ 分析度量和联络的 Lie 导数。
• 应用 $(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 的结构方程，包括 $R(X,Y)\xi = k[\eta(Y)X - \eta(X)Y] + \mu[\eta(Y)h'X - \eta(X)h'Y]$，以计算曲率和 Lie 导数作用。
• 通过恒等式 $g((\pounds_V \nabla)(X,Y),Z) = \frac{1}{2}[(\nabla_X \pounds_V g)(Y,Z) + \cdots]$ 推导 $\pounds_V \nabla$ 的表达式，并代入 $\pounds_V g$ 和 $\nabla \eta$ 的已知表达式。
• 通过公式 $(\pounds_V R)(X,Y)Z = (\nabla_X \pounds_V \nabla)(Y,Z) - (\nabla_Y \pounds_V \nabla)(X,Z)$ 计算 $\pounds_V R$，得出 $\pounds_V R(X,\xi)\xi = 0$。
• 利用恒等式 $\pounds_V R(X,\xi)\xi = -2\pounds_V h' X$，并与前述结果联立，得出 $\pounds_V h' = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 允许一个拟杨-哈贝解，且 $V$ 点态共线于 $\xi$ 时，会产生哪些几何约束？
• RQ2 在何种条件下，此类解结构中 $V$ 为 $\xi$ 的常数倍？
• RQ3 当 $V = b\xi$ 且 $b$ 为常数时，$V$ 是否为严格无穷小接触变换？
• RQ4 在此设定下，张量场 $h'$ 是否沿 $V$ 的 Lie 导数保持不变？
• RQ5 是否可以在五维 $(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 上构造一个收缩型拟杨-哈贝解的具体例子？

主要发现

• 若 $(k,\mu)'$-近凯姆茨曼ifold 允许一个拟杨-哈贝解 $(g,V,\lambda,\alpha)$，且 $V$ 点态共线于 $\xi$，则 $V$ 必须是 $\xi$ 的常数倍。
• $V$ 是严格无穷小接触变换，即 $\pounds_V \eta = 0$。
• 沿 $V$ 的张量场 $h'$ 的 Lie 导数为零：$\pounds_V h' = 0$。
• 标量曲率 $r = 2n(k - 2n)$ 为常数，且 $\lambda = r - b$，其中 $b$ 为满足 $V = b\xi$ 的常数。
• 在五维例子中，$k = -2$，$\mu = -2$，$r = -80$，且 $V = \xi$，该解为收缩型，$\lambda = -41 < 0$。
• 该例子验证了 $\pounds_\xi \eta = 0$ 和 $\pounds_\xi h' = 0$，与理论结果一致。