[论文解读] Almost-Linear-Time Weighted 𝓁_p-Norm Solvers in Slightly Dense Graphs via Sparsification

Deeksha Adil, Brian Bullins+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Matrix Theory and Algorithms参考文献 43被引用 2

一句话总结

本论文提出了一类几乎线性时间算法，用于在略稠密图（m ≥ n^{4/3+o(1)}）中求解加权 ℓp-范数流与电压问题，采用新颖的混合 ℓ²² + ℓpᵖ 目标函数的稀疏化技术。通过展开式分解（用于流）和基于杠杆率采样的图聚拢（用于电压）构建稀疏化器，实现在 p(m^{1+o(1)} + n^{4/3+o(1)}) 时间内获得 (1 + 2^{−poly(log n)})-近似解，优于以往依赖内点法且具有 Ω(n^{3/2}) 障碍的算法。

ABSTRACT

We give almost-linear-time algorithms for constructing sparsifiers with $n\ poly(\log n)$ edges that approximately preserve weighted $(\ell^{2}_2 + \ell^{p}_p)$ flow or voltage objectives on graphs. For flow objectives, this is the first sparsifier construction for such mixed objectives beyond unit $\ell_p$ weights, and is based on expander decompositions. For voltage objectives, we give the first sparsifier construction for these objectives, which we build using graph spanners and leverage score sampling. Together with the iterative refinement framework of [Adil et al, SODA 2019], and a new multiplicative-weights based constant-approximation algorithm for mixed-objective flows or voltages, we show how to find $(1+2^{- ext{poly}(\log n)})$ approximations for weighted $\ell_p$-norm minimizing flows or voltages in $p(m^{1+o(1)} + n^{4/3 + o(1)})$ time for $p=ω(1),$ which is almost-linear for graphs that are slightly dense ($m \ge n^{4/3 + o(1)}$).

研究动机与目标

• 设计更快的高精度算法，用于在超越内点法限制的图中求解加权 ℓp-范数最小化流与电压问题。
• 通过用稀疏、可高效构造的图稀疏化器替代密集更新，克服中等稠密图中 Ω(n^{3/2}) 时间障碍。
• 将拉普拉斯范式扩展至包含 ℓ²² 与 ℓpᵖ 范数的混合目标函数，并支持一般边权，而不仅限于单位权重。
• 为稀疏化与迭代精化之间提供清晰、模块化的接口，简化分析，相比以往基于内点法的方法更具优势。

提出的方法

• 利用展开式分解，为加权 ℓ²² + ℓpᵖ 流目标函数构造稀疏化器，确保 (ℓ²² + ℓpᵖ) 流目标函数的 (1 + o(1)) 因子保持。
• 通过图聚拢与杠杆率采样，为电压目标函数开发稀疏化器，确保 (ℓ²² + ℓpᵖ) 电压目标函数的保持。
• 将这些稀疏化器集成到 Adil 等人（SODA 2019）的迭代精化框架中，实现高精度解。
• 采用一种基于乘法权重的新常数近似算法，作为混合目标流/电压问题的起点。
• 应用稀疏化技术在保持近似保证的前提下减小问题规模，支持递归应用。
• 采用带有自适应缩放的残差问题框架，其中稀疏化子问题被近似求解并组合，以获得高精度解。

实验结果

研究问题

• RQ1 稀疏化技术能否扩展至一般边权的混合 ℓ²² + ℓpᵖ 目标函数，而不仅限于单位权重的 ℓpᵖ？
• RQ2 是否可能在略稠密图（m ≥ n^{4/3+o(1)}）中实现高精度 ℓp-范数流与电压问题的几乎线性时间算法？
• RQ3 在该混合范数设定下，能否为流与电压目标函数分别构造稀疏化器？它们在构造方式上如何不同？
• RQ4 如何将稀疏化与迭代精化结合，以避免在稠密图中内点法带来的 Ω(n^{3/2}) 时间障碍？
• RQ5 在实现 (1 + 2^{−poly(log n)})-近似解时，稀疏化质量与计算成本之间最优权衡是什么？

主要发现

• 本论文在 p(m^{1+o(1)} + n^{4/3+o(1)}) 时间内，对 p = ω(1) 的情况，实现了加权 ℓp-范数最小化流与电压问题的 (1 + 2^{−poly(log n)})-近似解。
• 对于满足 m ≥ n^{4/3+o(1)} 的图，运行时间为几乎线性，优于以往在二分图匹配问题中实现的 eO(m + n^{3/2}) 时间。
• 流目标函数的稀疏化器通过展开式分解构建，确保 (ℓ²² + ℓpᵖ) 流目标函数的保持。
• 电压目标函数的稀疏化器通过图聚拢与杠杆率采样构建，确保 (ℓ²² + ℓpᵖ) 电压目标函数的保持。
• 该框架相比经典内点法实现了显著加速，后者因密集对偶更新而产生 Ω(n^{3/2}) 的开销。
• 通过将稀疏化作为与迭代精化之间的清晰接口，简化了分析，避免了复杂内点法的集成。