[论文解读] Almost minimax sequential tests of composite hypotheses

Georgios Fellouris, Alexander G. Tartakovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2012

Advanced Statistical Process Monitoring被引用 1

一句话总结

本文提出基于混合型和加权广义似然比统计量的复合假设顺序检验方法，证明其在最小化期望样本量和Kullback-Leibler散度方面具有渐近最优性。在适当选择权重的情况下，检验方法实现近似极小化最大性能与鲁棒性，且在相同设计下两种变体表现等价。

ABSTRACT

We consider the problem of sequentially testing a simple null hypothesis versus a composite alternative hypothesis that consists of a finite set of densities. We study sequential tests that are based on thresholding of mixture-based likelihood ratio statistics and weighted generalized likelihood ratio statistics. It is shown that both sequential tests have several asymptotic optimality properties as error probabilities go to zero. First, for any weights, they minimize the expected sample size within a constant term under every scenario in the alternative hypothesis and at least to first order under the null hypothesis. Second, for appropriate weights that are specified up to a prior distribution, they minimize within an asymptotically negligible term a weighted expected sample size in the alternative hypothesis. Third, for a particular prior distribution, they are almost minimax with respect to the expected Kullback-Leibler divergence until stopping. Furthermore, based on high-order asymptotic expansions for the operating characteristics, we propose prior distributions that lead to a robust behavior. Finally, based on asymptotic analysis as well as on simulation experiments, we argue that both tests have the same performance when they are designed with the same weights.

研究动机与目标

• 开发当错误概率趋近于零时具有渐近最优性的顺序检验程序。
• 在所有备择假设情景下将期望样本量最小化至一个常数项，并在原假设下达到一阶最小化。
• 通过适当的基于先验分布的权重，实现备择假设下加权期望样本量的最小化。
• 建立关于停止前期望Kullback-Leibler散度的近乎极小化最大性质。
• 通过高阶渐近展开提出鲁棒先验分布，以确保性能稳定。

提出的方法

• 通过混合型似然比统计量的阈值化构造顺序检验。
• 以基于先验分布导出的权重的加权广义似然比统计量作为检验基础。
• 应用高阶渐近展开分析运行特性，并推导鲁棒先验分布。
• 设计检验以在备择假设下最小化期望样本量，在原假设下最小化Kullback-Leibler散度。
• 在相同权重下比较混合型与加权广义似然比检验的性能。
• 通过模拟实验验证理论渐近结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于混合型似然比的顺序检验能否在最小化期望样本量方面实现渐近最优性？
• RQ2 在适当的先验权重下，加权广义似然比检验能否最小化加权期望样本量？
• RQ3 能否设计检验使其在停止前的期望Kullback-Leibler散度方面近乎极小化最大？
• RQ4 高阶渐近展开如何指导鲁棒先验分布的选择？
• RQ5 当使用相同权重设计时，混合型与加权广义似然比检验是否表现出等效性能？

主要发现

• 无论备择假设的何种情景，混合型与加权广义似然比检验均在期望样本量上达到常数项内的最小化，并在原假设下一阶最小化。
• 在权重按先验分布指定的前提下，检验在备择假设下对加权期望样本量的最小化误差为渐近可忽略项。
• 对于特定先验分布，检验在停止前的期望Kullback-Leibler散度方面具有近乎极小化最大性质。
• 高阶渐近展开导出的先验分布可确保在不同情景下保持鲁棒性能。
• 模拟实验与渐近分析均表明，当使用相同权重设计时，两种检验性能完全一致。
• 所提出的检验在多个标准下（包括样本量与散度最小化）均实现强渐近最优性。